கீழ்க்கண்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க: (i) sin²x-5sin x+4=0 (ii) 12x³+8x=29x²−4

दिए गए समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें।

सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ:

इस त्रिघात समीकरण के परिमेय मूलों को ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें।
संभावित परिमेय मूल $\frac{p}{q}$ के रूप में होते हैं, जहाँ $p$ अचर पद (4) का भाजक है और $q$ अग्रणी गुणांक (12) का भाजक है।
$p$ के भाजक: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$
$q$ के भाजक: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$
कुछ मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि $x = 2$ एक मूल है:
$P(2) = 12(2)^3 - 29(2)^2 + 8(2) + 4$
$P(2) = 12(8) - 29(4) + 16 + 4$
$P(2) = 96 - 116 + 16 + 4$
$P(2) = 116 - 116 = 0$
चूंकि $P(2) = 0$, $x = 2$ एक मूल है, और $(x - 2)$ एक गुणनखंड है।

बहुपद को $(x - 2)$ से विभाजित करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करें।

2 | 12  -29   8   4
  |     24  -10  -4
  -----------------
    12  -5   -2   0

भागफल $12x^2 - 5x - 2$ है।
तो, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अब द्विघात समीकरण $12x^2 - 5x - 2 = 0$ को हल करें।
हम द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग कर सकते हैं।
यहाँ, $a = 12$, $b = -5$, $c = -2$।

$x$ के लिए दो मान ज्ञात करें।

इसलिए, समीकरण के हल हैं $x = 2$, $x = \frac{2}{3}$, और $x = -\frac{1}{4}$।

The final answer is $\boxed{x = 2, \frac{2}{3}, -\frac{1}{4}}$.