This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: दिए गए समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें। 12x^3 + 8x = 29x^2 - 4 सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: 12x^3 - 29x^2 + 8x + 4 = 0 Step 2: इस त्रिघात समीकरण के परिमेय मूलों को ज्ञात करने के लिए परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करें। संभावित परिमेय मूल (p)/(q) के रूप में होते हैं, जहाँ p अचर पद (4) का भाजक है और q अग्रणी गुणांक (12) का भाजक है। p के भाजक: ± 1, ± 2, ± 4 q के भाजक: ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12 कुछ मानों का परीक्षण करने पर, हम पाते हैं कि x = 2 एक मूल है: P(2) = 12(2)^3 - 29(2)^2 + 8(2) + 4 P(2) = 12(8) - 29(4) + 16 + 4 P(2) = 96 - 116 + 16 + 4 P(2) = 116 - 116 = 0 चूंकि P(2) = 0, x = 2 एक मूल है, और (x - 2) एक गुणनखंड है। Step 3: बहुपद को (x - 2) से विभाजित करने के लिए सिंथेटिक विभाजन का उपयोग करें। ` 2 | 12 -29 8 4 | 24 -10 -4 ----------------- 12 -5 -2 0 ` भागफल 12x^2 - 5x - 2 है। तो, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: (x - 2)(12x^2 - 5x - 2) = 0 Step 4: अब द्विघात समीकरण 12x^2 - 5x - 2 = 0 को हल करें। हम द्विघात सूत्र x = -b ± sqrt(b^2 - 4ac)2a का उपयोग कर सकते हैं। यहाँ, a = 12, b = -5, c = -2। x = -(-5) ± sqrt((-5)^2 - 4(12)(-2))2(12) x = 5 ± sqrt(25 + 96)24 x = 5 ± sqrt(121)24 x = (5 ± 11)/(24) Step 5: x के लिए दो मान ज्ञात करें। x_1 = (5 + 11)/(24) = (16)/(24) = (2)/(3) x_2 = (5 - 11)/(24) = (-6)/(24) = -(1)/(4) इसलिए, समीकरण के हल हैं x = 2, x = (2)/(3), और x = -(1)/(4)। The final answer is x = 2, (2)/(3), -(1)/(4). 3 done, 2 left today. You're making progress.