If 2A+B = pi/2, then (1+sin B)/(1-sin B) is equal to

हमें दिया गया है कि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ और $\sin 2\theta = \cos 3\theta$.

हम जानते हैं कि $\cos x = \sin \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
तो, $\cos 3\theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - 3\theta\right)$.
समीकरण बन जाता है:

जब $\sin A = \sin B$, तो $A = n\pi + (-1)^n B$.
चूंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$, $2\theta$ और $\frac{\pi}{2} - 3\theta$ दोनों 0 और $\pi$ के बीच होंगे।
इसलिए, हम $2\theta = \frac{\pi}{2} - 3\theta$ ले सकते हैं।

हमें $\sin \left(\frac{\pi}{10}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{10}$ रेडियन $18^\circ$ के बराबर है।
$\sin 18^\circ$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित विधि का उपयोग कर सकते हैं:
माना $x = 18^\circ$.
तो $5x = 90^\circ$.
$2x = 90^\circ - 3x$.
$\sin(2x) = \sin(90^\circ - 3x)$.
$\sin(2x) = \cos(3x)$.
$2\sin x \cos x = 4\cos^3 x - 3\cos x$.
चूंकि $\cos x \neq 0$ (क्योंकि $x = 18^\circ$), हम $\cos x$ से भाग दे सकते हैं:
$2\sin x = 4\cos^2 x - 3$.
$2\sin x = 4(1 - \sin^2 x) - 3$.
$2\sin x = 4 - 4\sin^2 x - 3$.
$4\sin^2 x + 2\sin x - 1 = 0$.
यह $\sin x$ में एक द्विघात समीकरण है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके:

चूंकि $x = 18^\circ$ पहले चतुर्थांश में है, $\sin x$ धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए, $\sin 18^\circ = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

अतः, $\sin \theta = \sin \left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$.

The final answer is $\frac{\sqrt{5}-1}{4}$.