If A=[2 3 -1/3 0 2], B=[1 1/2] and C=[1 -2] then prove that (AB)C = A(BC).

सबसे पहले, हम आव्यूह $A$ और $B$ का गुणनफल ज्ञात करेंगे।

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(1) + (-1)(2) \\ (3)(1) + (0)(1) + (2)(2) \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} 2 + 3 - 2 \\ 3 + 0 + 4 \end{bmatrix}$$ $$AB = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}$$

अब, हम $AB$ और आव्यूह $C$ का गुणनफल ज्ञात करेंगे।

$$AB = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix}$$ $$(AB)C = \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix}$$ $$(AB)C = \begin{bmatrix} (3)(1) & (3)(-2) \\ (7)(1) & (7)(-2) \end{bmatrix}$$ $$(AB)C = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 7 & -14 \end{bmatrix}$$

अब, हम आव्यूह $B$ और $C$ का गुणनफल ज्ञात करेंगे।

$$B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix}$$ $$BC = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \end{bmatrix}$$ $$BC = \begin{bmatrix} (1)(1) & (1)(-2) \\ (1)(1) & (1)(-2) \\ (2)(1) & (2)(-2) \end{bmatrix}$$ $$BC = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$$

अंत में, हम आव्यूह $A$ और $BC$ का गुणनफल ज्ञात करेंगे।

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad BC = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$$ $$A(BC) = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix}$$ $$A(BC) = \begin{bmatrix} (2)(1) + (3)(1) + (-1)(2) & (2)(-2) + (3)(-2) + (-1)(-4) \\ (3)(1) + (0)(1) + (2)(2) & (3)(-2) + (0)(-2) + (2)(-4) \end{bmatrix}$$ $$A(BC) = \begin{bmatrix} 2 + 3 - 2 & -4 - 6 + 4 \\ 3 + 0 + 4 & -6 + 0 - 8 \end{bmatrix}$$ $$A(BC) = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 7 & -14 \end{bmatrix}$$

हमने पाया कि:

$$(AB)C = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 7 & -14 \end{bmatrix}$$

और

$$A(BC) = \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 7 & -14 \end{bmatrix}$$

चूँकि $(AB)C = A(BC)$, यह सिद्ध होता है।

$$\text{सिद्ध हुआ}$$