If A is a 2 x 2 matrix such that A [1, -1]^T = [-1, 2]^T and A2 [1, -1]^T = [1, 0]^T, then trace of A is

कैले-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton Theorem) के अनुसार, एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स $A$ अपने अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) को संतुष्ट करता है:

$$A^2 - (\text{trace}(A))A + (\det(A))I = 0$$

जहाँ $I$ एक पहचान मैट्रिक्स (identity matrix) है।
मान लीजिए $\text{trace}(A) = T$ और $\det(A) = D$। तो समीकरण बन जाता है:

$$A^2 - TA + DI = 0$$

$A \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$
$A^2 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
और $I \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} - T \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} + D \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} T \\ -2T \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} D \\ -D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

पहली पंक्ति से:

$$1 + T + D = 0 \quad (Eq. 1)$$

दूसरी पंक्ति से:

$$0 - 2T - D = 0 \quad (Eq. 2)$$

समीकरण (2) से:

$$-2T - D = 0 \implies D = -2T$$

इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करें:

$$1 + T + (-2T) = 0$$ $$1 - T = 0$$ $$T = 1$$

इसलिए, मैट्रिक्स $A$ का ट्रेस 1 है।

सही विकल्प है A)।