If f:R→R is defined by f(x) = x2 − 3x, find the value of f(f(x)).

हमें $f(x)$ को $f$ के अंदर प्रतिस्थापित करना है।

अब, $f(y) = y^2 - 3y + 2$ में $y$ के स्थान पर $(x^2 - 3x + 2)$ रखें।

पहले $(x^2 - 3x + 2)^2$ का विस्तार करें:

अब, $-3(x^2 - 3x + 2)$ का विस्तार करें:

सभी पदों को एक साथ जोड़ें:

$\boxed{x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 3x}$

4. सिद्ध करें कि $a * b = a + 2b$ द्वारा प्रदत्त $*: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ साहचर्य नहीं है।

एक संक्रिया $*$ साहचर्य होती है यदि सभी $a, b, c \in \mathbb{R}$ के लिए $(a * b) * c = a * (b * c)$ हो।

पहले $a * b$ ज्ञात करें:

अब $(a * b) * c$ ज्ञात करें, जहाँ पहला अवयव $(a + 2b)$ है और दूसरा $c$ है:

पहले $b * c$ ज्ञात करें:

अब $a * (b * c)$ ज्ञात करें, जहाँ पहला अवयव $a$ है और दूसरा $(b + 2c)$ है:

हमने पाया कि $(a * b) * c = a + 2b + 2c$ और $a * (b * c) = a + 2b + 4c$।
चूंकि $a + 2b + 2c \neq a + 2b + 4c$ (जब तक $c=0$ न हो), इसलिए संक्रिया साहचर्य नहीं है।
उदाहरण के लिए, $a=1, b=1, c=1$ लेने पर:

चूंकि $5 \neq 7$, इसलिए संक्रिया $*$ साहचर्य नहीं है।
$\boxed{\text{सिद्ध हुआ}}$

5. तुल्यता संबंध की परिभाषा दें।

एक संबंध $R$ किसी समुच्चय $A$ पर तुल्यता संबंध कहलाता है यदि वह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

• स्वतुल्य (Reflexive): समुच्चय $A$ के प्रत्येक अवयव $a$ के लिए, $(a, a) \in R$ होना चाहिए।
• सममित (Symmetric): यदि $(a, b) \in R$ है, तो $(b, a) \in R$ भी होना चाहिए।
• संक्रामक (Transitive): यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है, तो $(a, c) \in R$ भी होना चाहिए। संक्षेप में, एक तुल्यता संबंध एक ऐसा संबंध है जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है।

6. यदि $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ इस प्रकार परिभाषित है कि $f(x) = x^2 - 3x + 2$, तो $f^{-1}(3)$ का मान निकालें।

$f^{-1}(3)$ उन सभी $x$ के मानों को दर्शाता है जिनके लिए $f(x) = 3$ होता है।
इसलिए, हमें समीकरण $x^2 - 3x + 2 = 3$ को हल करना है।

समीकरण को मानक रूप में लाएँ:

यह एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के रूप में है, जहाँ $a=1, b=-3, c=-1$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करें: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$।

चूंकि डोमेन और कोडोमेन $\mathbb{R}$ हैं, दोनों मान मान्य हैं।
इसलिए, $f^{-1}(3)$ के मान $\frac{3 + \sqrt{13}}{2}$ और $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$ हैं।
$\boxed{\left\{ \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2} \right\}}$