This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
यहाँ आपके प्रश्नों के हल दिए गए हैं: 3. यदि f: R R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = x^2 - 3x + 2, तो f(f(x)) ज्ञात करें। Step 1: f(f(x)) की गणना करें। हमें f(x) को f के अंदर प्रतिस्थापित करना है। f(f(x)) = f(x^2 - 3x + 2) अब, f(y) = y^2 - 3y + 2 में y के स्थान पर (x^2 - 3x + 2) रखें। f(f(x)) = (x^2 - 3x + 2)^2 - 3(x^2 - 3x + 2) + 2 Step 2: व्यंजक का विस्तार और सरलीकरण करें। पहले (x^2 - 3x + 2)^2 का विस्तार करें: (x^2 - 3x + 2)^2 = (x^2)^2 + (-3x)^2 + (2)^2 + 2(x^2)(-3x) + 2(-3x)(2) + 2(2)(x^2) = x^4 + 9x^2 + 4 - 6x^3 - 12x + 4x^2 = x^4 - 6x^3 + (9x^2 + 4x^2) - 12x + 4 = x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4 अब, -3(x^2 - 3x + 2) का विस्तार करें: -3(x^2 - 3x + 2) = -3x^2 + 9x - 6 सभी पदों को एक साथ जोड़ें: f(f(x)) = (x^4 - 6x^3 + 13x^2 - 12x + 4) + (-3x^2 + 9x - 6) + 2 f(f(x)) = x^4 - 6x^3 + (13x^2 - 3x^2) + (-12x + 9x) + (4 - 6 + 2) f(f(x)) = x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 3x + 0 f(f(x)) = x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 3x x^4 - 6x^3 + 10x^2 - 3x 4. सिद्ध करें कि a b = a + 2b द्वारा प्रदत्त : R × R R साहचर्य नहीं है। Step 1: साहचर्यता की परिभाषा। एक संक्रिया साहचर्य होती है यदि सभी a, b, c R के लिए (a b) c = a (b * c) हो। Step 2: (a b) c की गणना करें। पहले a * b ज्ञात करें: a * b = a + 2b अब (a b) c ज्ञात करें, जहाँ पहला अवयव (a + 2b) है और दूसरा c है: (a b) c = (a + 2b) * c = (a + 2b) + 2c = a + 2b + 2c Step 3: a (b c) की गणना करें। पहले b * c ज्ञात करें: b * c = b + 2c अब a (b c) ज्ञात करें, जहाँ पहला अवयव a है और दूसरा (b + 2c) है: a (b c) = a * (b + 2c) = a + 2(b + 2c) = a + 2b + 4c Step 4: परिणामों की तुलना करें। हमने पाया कि (a b) c = a + 2b + 2c और a (b c) = a + 2b + 4c। चूंकि a + 2b + 2c ≠ a + 2b + 4c (जब तक c=0 न हो), इसलिए संक्रिया साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, a=1, b=1, c=1 लेने पर: (1 1) 1 = (1 + 2(1)) 1 = 3 1 = 3 + 2(1) = 5 1 (1 1) = 1 (1 + 2(1)) = 1 3 = 1 + 2(3) = 7 चूंकि 5 ≠ 7, इसलिए संक्रिया * साहचर्य नहीं है। सिद्ध हुआ 5. तुल्यता संबंध की परिभाषा दें। एक संबंध R किसी समुच्चय A पर तुल्यता संबंध कहलाता है यदि वह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है: • स्वतुल्य (Reflexive): समुच्चय A के प्रत्येक अवयव a के लिए, (a, a) R होना चाहिए। • सममित (Symmetric): यदि (a, b) R है, तो (b, a) R भी होना चाहिए। • संक्रामक (Transitive): यदि (a, b) R और (b, c) R है, तो (a, c) R भी होना चाहिए। संक्षेप में, एक तुल्यता संबंध एक ऐसा संबंध है जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है। 6. यदि f: R R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = x^2 - 3x + 2, तो f^-1(3) का मान निकालें। Step 1: f^-1(3) का अर्थ समझें। f^-1(3) उन सभी x के मानों को दर्शाता है जिनके लिए f(x) = 3 होता है। इसलिए, हमें समीकरण x^2 - 3x + 2 = 3 को हल करना है। Step 2: द्विघात समीकरण को हल करें। x^2 - 3x + 2 = 3 समीकरण को मानक रूप में लाएँ: x^2 - 3x - 1 = 0 यह एक द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के रूप में है, जहाँ a=1, b=-3, c=-1। द्विघात सूत्र का उपयोग करें: x = -b ± sqrt(b^2 - 4ac)2a। x = -(-3) ± sqrt((-3)^2 - 4(1)(-1))2(1) x = 3 ± sqrt(9 + 4)2 x = 3 ± sqrt(13)2 चूंकि डोमेन और कोडोमेन R हैं, दोनों मान मान्य हैं। इसलिए, f^-1(3) के मान 3 + sqrt(13)2 और 3 - sqrt(13)2 हैं। \ 3 + sqrt(13)2, 3 - sqrt(13)2 \ 3 done, 2 left today. You're making progress.