If f(x) = x-|x|, where x ∈ R, |x| ≤ x. ∫_-22 f(x) dx is equal to - (1) -1 (2) 0 (3) 2 (4) -2

दिया गया फलन $f(x) = x - [x]$ है, जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन (greatest integer function) है।
हम जानते हैं कि $x - [x]$ भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) $\{x\}$ के बराबर होता है।
तो, $f(x) = \{x\}$।

हमें $\int_{-2}^{2} f(x) \, dx$ का मूल्यांकन करना है।
महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ पूर्णांक मानों पर बदलता है। इसलिए, हम समाकलन को निम्नलिखित अंतरालों में विभाजित करेंगे:

• अंतराल $[-2, -1)$ के लिए, $[x] = -2$।
• अंतराल $[-1, 0)$ के लिए, $[x] = -1$।
• अंतराल $[0, 1)$ के लिए, $[x] = 0$।
• अंतराल $[1, 2)$ के लिए, $[x] = 1$।

हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, $\int_{n}^{n+1} (x - [x]) \, dx = \int_{n}^{n+1} (x - n) \, dx$।
इस समाकलन को हल करने के लिए, हम $u = x - n$ प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं। जब $x=n$, $u=0$ और जब $x=n+1$, $u=1$।
तो, $\int_{n}^{n+1} (x - n) \, dx = \int_{0}^{1} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$।
इसका मतलब है कि $f(x) = x - [x]$ का किसी भी पूर्णांक अंतराल $[n, n+1)$ पर समाकलन हमेशा $\frac{1}{2}$ होता है।

अब हम प्रत्येक अंतराल के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं:

• $\int_{-2}^{-1} (x - (-2)) \, dx = \int_{-2}^{-1} (x + 2) \, dx = \frac{1}{2}$
• $\int_{-1}^{0} (x - (-1)) \, dx = \int_{-1}^{0} (x + 1) \, dx = \frac{1}{2}$
• $\int_{0}^{1} (x - 0) \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}$
• $\int_{1}^{2} (x - 1) \, dx = \frac{1}{2}$

कुल समाकलन का मान है:

यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{\text{(3) 2}}$.