This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Step 1: फलन f(x) को परिभाषित करें। दिया गया फलन f(x) = x - [x] है, जहाँ [x] महत्तम पूर्णांक फलन (greatest integer function) है। हम जानते हैं कि x - [x] भिन्नात्मक भाग फलन (fractional part function) \x\ के बराबर होता है। तो, f(x) = \x\। Step 2: समाकलन की सीमाओं के आधार पर फलन को खंडों में विभाजित करें। हमें _-2^2 f(x) \, dx का मूल्यांकन करना है। महत्तम पूर्णांक फलन [x] पूर्णांक मानों पर बदलता है। इसलिए, हम समाकलन को निम्नलिखित अंतरालों में विभाजित करेंगे: _-2^2 (x - [x]) \, dx = _-2^-1 (x - [x]) \, dx + _-1^0 (x - [x]) \, dx + _0^1 (x - [x]) \, dx + _1^2 (x - [x]) \, dx Step 3: प्रत्येक अंतराल में [x] का मान ज्ञात करें। • अंतराल [-2, -1) के लिए, [x] = -2। • अंतराल [-1, 0) के लिए, [x] = -1। • अंतराल [0, 1) के लिए, [x] = 0। • अंतराल [1, 2) के लिए, [x] = 1। Step 4: प्रत्येक अंतराल के लिए समाकलन का मूल्यांकन करें। हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक n के लिए, _n^n+1 (x - [x]) \, dx = _n^n+1 (x - n) \, dx। इस समाकलन को हल करने के लिए, हम u = x - n प्रतिस्थापन का उपयोग कर सकते हैं। जब x=n, u=0 और जब x=n+1, u=1। तो, _n^n+1 (x - n) \, dx = _0^1 u \, du = [ (u^2)/(2) ]_0^1 = (1^2)/(2) - (0^2)/(2) = (1)/(2)। इसका मतलब है कि f(x) = x - [x] का किसी भी पूर्णांक अंतराल [n, n+1) पर समाकलन हमेशा (1)/(2) होता है। अब हम प्रत्येक अंतराल के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं: • _-2^-1 (x - (-2)) \, dx = _-2^-1 (x + 2) \, dx = (1)/(2) • _-1^0 (x - (-1)) \, dx = _-1^0 (x + 1) \, dx = (1)/(2) • _0^1 (x - 0) \, dx = _0^1 x \, dx = (1)/(2) • _1^2 (x - 1) \, dx = (1)/(2) Step 5: सभी समाकलनों के परिणामों को जोड़ें। कुल समाकलन का मान है: (1)/(2) + (1)/(2) + (1)/(2) + (1)/(2) = 4 × (1)/(2) = 2 यह विकल्प (3) से मेल खाता है। The final answer is (3) 2. Got more? Send 'em.