Find the image of the line 2y = x under the transformation with matrix operator (0 −1 / −1 0). Find the…

Question

Find the image of the line 2y = x under the transformation with matrix operator (0 −1 / −1 0). Find the inverse of the matrix A, where A = (1 −1 1 / 2 1 −3 / 1 1 1). Hence solve the equations x − y + z = 7, 2x + y − 3z = −6, x + y + z = 4.

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Voici la solution pour les deux parties de la question. *i) Trouver l'image de la droite 2y = x sous la transformation avec l'opérateur matriciel 0 & −1 −1 & 0 * Step 1: Représenter un point de la droite. La droite est donnée par l'équation x = 2y. Nous pouvons représenter un point (x, y) sur cette droite comme (2y, y). Step 2: Appliquer la transformation. Soit (x', y') l'image du point (x, y) après la transformation. La transformation est donnée par : x' y' = 0 & −1 −1 & 0 x y Effectuons la multiplication matricielle : x' = (0)(x) + (−1)(y) ⇒ x' = −y; y' = (−1)(x) + (0)(y) ⇒ y' = −x Step 3: Exprimer x et y en fonction de x' et y'. À partir des équations obtenues : De x' = −y, nous avons y = −x'. De y' = −x, nous avons x = −y'. Step 4: Substituer dans l'équation de la droite originale. L'équation de la droite originale est x = 2y. Nous substituons les expressions de x et y en termes de x' et y' : −y' = 2(−x'); −y' = −2x' Multiplions les deux côtés par −1 : y' = 2x'; L'image de la droite 2y = x sous la transformation donnée est y = 2x. *ii) Trouver l'inverse de la matrice A, où A = 1 & −1 & 1 2 & 1 & −3 1 & 1 & 1 . Ensuite, résoudre les équations.* Partie 1: Trouver l'inverse de la matrice A Step 1: Calculer le déterminant de A. Le déterminant de la matrice A est calculé comme suit : det(A) = 1 · 1 & −3 1 & 1 − (−1) · 2 & −3 1 & 1 + 1 · 2 & 1 1 & 1 det(A) = 1((1)(1) − (−3)(1)) + 1((2)(1) − (−3)(1)) + 1((2)(1) − (1)(1)); det(A) = 1(1 + 3) + 1(2 + 3) + 1(2 − 1); det(A) = 1(4) + 1(5) + 1(1); det(A) = 4 + 5 + 1; det(A) = 10 Step 2: Calculer la matrice des cofacteurs C. Les cofacteurs Cij sont calculés comme (−1)^(i+j) Mij, où Mij est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la i-ième ligne et la j-ième colonne. C₁₁ = + 1 & −3; 1 & 1 = 1 − (−3) = 4; C₁₂ = − 2 & −3; 1 & 1 = −(2 − (−3)) = −5; C₁₃ = + 2 & 1; 1 & 1 = 2 − 1 = 1; C₂₁ = − −1 & 1; 1 & 1 = −(−1 − 1) = 2; C₂₂ = + 1 & 1; 1 & 1 = 1 − 1 = 0; C₂₃ = − 1 & −1; 1 & 1 = −(1 − (−1)) = −2; C₃₁ = + −1 & 1; 1 & −3 = 3 − 1 = 2; C₃₂ = − 1 & 1; 2 & −3 = −(−3 − 2) = 5; C₃₃ = + 1 & −1; 2 & 1 = 1 − (−2) = 3 La matrice des cofacteurs est : C = 4 & −5 & 1 2 & 0 & −2 2 & 5 & 3 Step 3: Calculer la matrice adjointe (ou adjugée) adj(A). La matrice adjointe est la transposée de la matrice des cofacteurs : adj(A) = C^T = 4 & 2 & 2 −5 & 0 & 5 1 & −2 & 3 Step 4: Calculer l'inverse de la matrice A. L'inverse de A est A⁻¹ = (1)/(det(A)) adj(A). A⁻¹ = 1/10 4 & 2 & 2 −5 & 0 & 5 1 & −2 & 3 A⁻¹ = 0,4 & 0,2 & 0,2 −0,5 & 0 & 0,5 0,1 & −0,2 & 0,3 Partie 2: Résoudre le système d'équations Step 5: Écrire le système d'équations sous forme matricielle. Le système d'équations est : x − y + z = 7; 2x + y − 3z = −6; x + y + z = 4; Ceci peut être écrit comme AX = B, où : A = 1 & −1 & 1 2 & 1 & −3 1 & 1 & 1 , X = x y z , B = 7 −6 4 Nous avons déjà trouvé l'inverse de A. La solution est donnée par X = A⁻¹B. Step 6: Multiplier A⁻¹ par B. X = x y z = 1/10 4 & 2 & 2 −5 & 0 & 5 1 & −2 & 3 7 −6 4 Effectuons la multiplication matricielle : x = 1/10 ((4)(7) + (2)(−6) + (2)(4)) = 1/10 (28 − 12 + 8) = 1/10 (24) = 2,4; y = 1/10 ((−5)(7) + (0)(−6) + (5)(4)) = 1/10 (−35 + 0 + 20) = 1/10 (−15) = −1,5; z = 1/10 ((1)(7) + (−2)(−6) + (3)(4)) = 1/10 (7 + 12 + 12) = 1/10 (31) = 3,1 La solution du système d'équations est : x = 2,4; y = −1,5; z = 3,1

Find the image of the line 2y = x under the transformation with matrix operator (0 -1 / -1 0). Find the inverse of the matrix A, where A = (1 −1 1 / 2 1 -3 / 1 1 1). Hence solve the equations x − y + z = 7, 2x + y - 3z = -6, x + y + z = 4.

Answers

Step-by-step solution

Part i· 4 steps

Représenter un point de la droite.

Appliquer la transformation.

Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$ .

Substituer dans l'équation de la droite originale.

Part ii

Part 1· 4 steps
$\begin{pmatrix} 0,4 & 0,2 & 0,2 \\ -0,5 & 0 & 0,5 \\ 0,1 & -0,2 & 0,3 \end{pmatrix}$

Calculer le déterminant de $A$ .

Calculer la matrice des cofacteurs $C$ .

Calculer la matrice adjointe (ou adjugée) $adj(A)$ .

Calculer l'inverse de la matrice $A$ .

Part 2· 2 steps2,4

Écrire le système d'équations sous forme matricielle.

Multiplier $A^{-1}$ par $B$ .

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