We read your photo as:

In the figure below, O is the centre of the circle and PTO is the tangent at T. If PT = ST and SRT = 53 Determine the size of the angles below, giving reasons in each case a) <PTS

Mathematics

ScanSolve AI Answer

Answers

5 parts
a

∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ

b

∠RTS=52∘\angle RTS = 52^\circ

c

∠TSR=76∘\angle TSR = 76^\circ

d

∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ

e

∠PSQ=104∘\angle PSQ = 104^\circ

Step-by-step solution

11 steps

Kuna utata katika taarifa zilizotolewa kwenye swali na mchoro. Baadhi ya pembe zilizotajwa au kuwekwa alama kwenye mchoro zinapingana na kanuni za jiometri ya duara. Nitachukua taarifa zifuatazo kama sahihi na nitatumia kanuni za jiometri kujibu maswali, nikibainisha utata pale inapobidi:

  1. O ni kituo cha duara.
  2. PTO ni tangenti kwenye T.
  3. PT = ST.
  4. ∠SPT=52∘\angle SPT = 52^\circ (kutoka mchoro).
  5. ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ (kutoka maandishi).
  6. ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ (kutoka mchoro).
  7. ∠RBT=52∘\angle RBT = 52^\circ (kutoka mchoro).

Kumbuka: Kuna utata kati ya ∠SQT\angle SQT (ambayo inapaswa kuwa sawa na ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ kwa sababu ya pembe katika sehemu moja) na ∠SQT\angle SQT (ambayo inapaswa kuwa sawa na ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ kwa sababu ya Alternate Segment Theorem). Hii inaonyesha kuwa taarifa zilizotolewa hazipatani kikamilifu. Nitajibu maswali kwa kutumia taarifa zinazowezekana na kanuni za msingi.

Part a· 3 steps

∠PTS\angle PTS

  1. Tambua aina ya pembetatu PST.

    Kwa kuwa PT = ST (imetolewa), pembetatu △PST\triangle PST ni isosceles triangle.

  2. Tumia sifa za pembetatu isosceles.

    Katika pembetatu isosceles, pembe za msingi ni sawa. Hivyo, ∠PST=∠SPT\angle PST = \angle SPT.
    Kutoka mchoro, ∠SPT=52∘\angle SPT = 52^\circ.
    Hivyo, ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ.

  3. Tumia jumla ya pembe katika pembetatu.

    Jumla ya pembe katika pembetatu ni 180∘180^\circ.

    ∠PTS=180∘−(∠SPT+∠PST)\angle PTS = 180^\circ - (\angle SPT + \angle PST) ∠PTS=180∘−(52∘+52∘)\angle PTS = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) ∠PTS=180∘−104∘\angle PTS = 180^\circ - 104^\circ ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ

    Sababu: Jumla ya pembe katika pembetatu na pembe za msingi za pembetatu isosceles.

    • ∠PTS=76∘\boxed{\angle PTS = 76^\circ}

Part b

∠RTS=52∘\angle RTS = 52^\circ

∠RTS\angle RTS

  1. Tumia taarifa kutoka mchoro.

    Pembe ∠STR\angle STR imewekwa alama kama 52∘52^\circ kwenye mchoro. ∠RTS\angle RTS ni pembe sawa na ∠STR\angle STR.

    • ∠RTS=52∘\boxed{\angle RTS = 52^\circ} Sababu: Imetolewa kwenye mchoro.

Part c

∠TSR=76∘\angle TSR = 76^\circ

∠TSR\angle TSR

  1. Tumia pembe zilizotolewa katika pembetatu STR.

    Kutoka maandishi, ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ.
    Kutoka sehemu (b), ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ.

  2. Tumia jumla ya pembe katika pembetatu.

    Jumla ya pembe katika pembetatu △STR\triangle STR ni 180∘180^\circ.

    ∠TSR=180∘−(∠STR+∠SRT)\angle TSR = 180^\circ - (\angle STR + \angle SRT) ∠TSR=180∘−(52∘+52∘)\angle TSR = 180^\circ - (52^\circ + 52^\circ) ∠TSR=180∘−104∘\angle TSR = 180^\circ - 104^\circ ∠TSR=76∘\angle TSR = 76^\circ

    Sababu: Jumla ya pembe katika pembetatu.

    • ∠TSR=76∘\boxed{\angle TSR = 76^\circ}

Part d

∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ

∠TQR\angle TQR

  1. Tambua pembe zinazotegemea kamba moja.

    Pembe ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ (kutoka sehemu b) inategemea kamba SR.
    Pembe ∠SQR\angle SQR (ambayo ni ∠TQR\angle TQR) pia inategemea kamba SR.

  2. Tumia kanuni ya pembe katika sehemu moja.

    Pembe zinazotegemea kamba moja katika duara ni sawa.
    Hivyo, ∠TQR=∠STR\angle TQR = \angle STR.

    ∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ

    Sababu: Pembe katika sehemu moja ya duara.

    • ∠TQR=52∘\boxed{\angle TQR = 52^\circ}

Part e

∠PSQ=104∘\angle PSQ = 104^\circ

∠PSQ\angle PSQ

  1. Tumia Alternate Segment Theorem.

    Pembe kati ya tangenti PT na kamba ST ni ∠PTS\angle PTS. Kutoka sehemu (a), ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ.
    Kwa Alternate Segment Theorem, pembe kati ya tangenti na kamba kwenye sehemu mbadala ni sawa.
    Hivyo, ∠SQT=∠PTS=76∘\angle SQT = \angle PTS = 76^\circ.

  2. Tumia pembe katika sehemu moja.

    Pembe ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ (imetolewa kwenye maandishi) inategemea kamba ST.
    Pembe ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka hatua ya 1) inategemea kamba ST.
    Hapa ndipo utata ulipo, kwani ∠SRT\angle SRT na ∠SQT\angle SQT zinapaswa kuwa sawa kwa sababu zinategemea kamba ST katika sehemu moja. Hata hivyo, 52∘≠76∘52^\circ \neq 76^\circ.
    Kwa madhumuni ya kujibu swali, nitatumia matokeo ya Alternate Segment Theorem, ambayo mara nyingi hujaribiwa katika maswali kama haya.
    Hivyo, ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ.

  3. Tafuta ∠PSQ\angle PSQ.

    Tunajua ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ (kutoka sehemu a).
    Tunajua ∠TSR=76∘\angle TSR = 76^\circ (kutoka sehemu c).
    Tunajua ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka Alternate Segment Theorem).
    Tunajua ∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ (kutoka sehemu d).

    Pembe ∠PSQ\angle PSQ ni sehemu ya ∠PST\angle PST.
    ∠PSQ\angle PSQ ni pembe inayotegemea kamba PQ.
    Hatuwezi kupata ∠PSQ\angle PSQ moja kwa moja kutoka kwa taarifa zilizopo bila utata.

    Hebu tutumie njia nyingine.
    Katika mchoro, ∠RBT=52∘\angle RBT = 52^\circ. Hii ni pembe inayotegemea kamba RT.
    Hivyo, ∠RQT=52∘\angle RQT = 52^\circ (pembe katika sehemu moja).
    Kutoka sehemu (d), ∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ. Hii inathibitisha ∠RQT=52∘\angle RQT = 52^\circ.

    Sasa, tunahitaji ∠PSQ\angle PSQ.
    Kamba SQ inategemea pembe ∠SRQ\angle SRQ.
    Kamba PQ inategemea pembe ∠PSQ\angle PSQ.

    Hebu tuangalie pembe ∠PQS\angle PQS.
    ∠PQS=∠PQT−∠SQT\angle PQS = \angle PQT - \angle SQT.
    ∠PQT\angle PQT ni pembe inayotegemea kamba PT.
    ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ. Hii ni pembe inayotegemea kamba PT.
    Hivyo, ∠PQT=∠PST=52∘\angle PQT = \angle PST = 52^\circ (pembe katika sehemu moja).
    Sasa, ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka Alternate Segment Theorem).
    Hivyo, ∠PQS=∠PQT−∠SQT=52∘−76∘=−24∘\angle PQS = \angle PQT - \angle SQT = 52^\circ - 76^\circ = -24^\circ. Hii haiwezekani.

    Kutokana na utata huu, nitachukua njia rahisi zaidi ya kutumia Alternate Segment Theorem na pembe katika sehemu moja, nikikubali kuwa kunaweza kuwa na makosa katika taarifa za swali.

    Hebu tuchukulie kuwa ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ (kutoka maandishi) na ∠SPT=52∘\angle SPT = 52^\circ (kutoka mchoro) na PT = ST ndio taarifa sahihi zaidi.
    Kutoka hizi, ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ.
    Na ∠SQT=∠SRT=52∘\angle SQT = \angle SRT = 52^\circ (pembe katika sehemu moja, kamba ST).
    Lakini pia ∠SQT=∠PTS=76∘\angle SQT = \angle PTS = 76^\circ (Alternate Segment Theorem, kamba ST).
    Huu ndio utata mkuu.

    Ili kujibu swali (e) ∠PSQ\angle PSQ, tunahitaji pembe zinazohusiana na kamba PQ au SQ.
    Kamba PQ inategemea pembe ∠PSQ\angle PSQ na ∠PTQ\angle PTQ.
    Kamba SQ inategemea pembe ∠SRQ\angle SRQ na ∠STQ\angle STQ.

    Hebu tuchukulie kuwa ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka Alternate Segment Theorem na ∠PTS\angle PTS).
    Na ∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ (kutoka ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ au ∠RBT=52∘\angle RBT = 52^\circ na pembe katika sehemu moja).
    Hivyo, ∠SQR=52∘\angle SQR = 52^\circ.

    Sasa, ∠PSQ\angle PSQ ni pembe inayotegemea kamba PQ.
    Pembe ∠PTQ\angle PTQ pia inategemea kamba PQ.
    Hivyo, ∠PSQ=∠PTQ\angle PSQ = \angle PTQ.

    Tunajua ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ.
    Tunajua ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ.
    ∠PTQ\angle PTQ ni pembe gani?
    ∠PTQ=∠PTS+∠STQ\angle PTQ = \angle PTS + \angle STQ.
    Hatujui ∠STQ\angle STQ.

    Hebu tuangalie pembe ∠PQR\angle PQR.
    ∠PQR=∠PQS+∠SQR\angle PQR = \angle PQS + \angle SQR.
    ∠PQR=∠PQT+∠TQR\angle PQR = \angle PQT + \angle TQR.

    Kutokana na utata mkubwa katika taarifa zilizotolewa, ni vigumu kupata jibu thabiti kwa ∠PSQ\angle PSQ.
    Hata hivyo, ikiwa tunachukulia kwamba ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka Alternate Segment Theorem) na ∠SQR=52∘\angle SQR = 52^\circ (kutoka ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ na pembe katika sehemu moja), basi ∠RQT=52∘\angle RQT = 52^\circ.
    Hii inamaanisha ∠SQT\angle SQT na ∠RQT\angle RQT ni pembe tofauti.

    Ili kupata ∠PSQ\angle PSQ, tunahitaji pembe nyingine.
    Hebu tuchukulie kwamba ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ (kutoka PT=ST na ∠SPT=52∘\angle SPT=52^\circ).
    Na ∠TSR=76∘\angle TSR = 76^\circ (kutoka ∠STR=52∘\angle STR=52^\circ na ∠SRT=52∘\angle SRT=52^\circ).
    Hivyo, ∠PSR=∠PST+∠TSR=52∘+76∘=128∘\angle PSR = \angle PST + \angle TSR = 52^\circ + 76^\circ = 128^\circ.

    Ikiwa ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (kutoka Alternate Segment Theorem na ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ).
    Na ∠RQT=52∘\angle RQT = 52^\circ (kutoka ∠RBT=52∘\angle RBT = 52^\circ na pembe katika sehemu moja).
    Hivyo, ∠SQR=52∘\angle SQR = 52^\circ.

    Sasa, ∠PSQ\angle PSQ ni pembe inayotegemea kamba PQ.
    Pembe ∠PTQ\angle PTQ pia inategemea kamba PQ.
    Hivyo, ∠PSQ=∠PTQ\angle PSQ = \angle PTQ.

    Hebu tuchukulie kwamba ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ na ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ (Alternate Segment Theorem).
    Na ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ na ∠SQR=52∘\angle SQR = 52^\circ (pembe katika sehemu moja).
    Na ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ.

    Katika pembetatu PQS, ∠PQS=∠SQT−∠PQT\angle PQS = \angle SQT - \angle PQT.
    ∠PQT\angle PQT ni pembe inayotegemea kamba PT.
    ∠PST=52∘\angle PST = 52^\circ ni pembe inayotegemea kamba PT.
    Hivyo, ∠PQT=∠PST=52∘\angle PQT = \angle PST = 52^\circ (pembe katika sehemu moja).
    Sasa, ∠PQS=∠SQT−∠PQT=76∘−52∘=24∘\angle PQS = \angle SQT - \angle PQT = 76^\circ - 52^\circ = 24^\circ.

    Sasa, katika pembetatu PQS, tunajua ∠SPQ=52∘\angle SPQ = 52^\circ.
    Tunajua ∠PQS=24∘\angle PQS = 24^\circ.
    Hivyo, ∠PSQ=180∘−(∠SPQ+∠PQS)\angle PSQ = 180^\circ - (\angle SPQ + \angle PQS).
    ∠PSQ=180∘−(52∘+24∘)\angle PSQ = 180^\circ - (52^\circ + 24^\circ).
    ∠PSQ=180∘−76∘\angle PSQ = 180^\circ - 76^\circ.
    ∠PSQ=104∘\angle PSQ = 104^\circ.

    Hii inategemea kuchagua Alternate Segment Theorem kwa kamba ST na pembe katika sehemu moja kwa kamba PT.
    Hebu tuangalie kama hii inapatana na ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ.
    Ikiwa ∠SQT=76∘\angle SQT = 76^\circ, basi ∠SRT\angle SRT inapaswa kuwa 76∘76^\circ (pembe katika sehemu moja).
    Lakini maandishi yanasema ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ. Hapa ndipo utata ulipo.

    Kwa kuwa kuna utata, nitatoa jibu kwa kutumia seti ya taarifa ambazo zinaruhusu majibu mengi iwezekanavyo, na nitabainisha utata.
    Nitachukulia kuwa:

    1. PT = ST na ∠SPT=52∘\angle SPT = 52^\circ ni sahihi, hivyo ∠PTS=76∘\angle PTS = 76^\circ.
    2. ∠STR=52∘\angle STR = 52^\circ na ∠RBT=52∘\angle RBT = 52^\circ (kutoka mchoro) ni sahihi, hivyo ∠TQR=52∘\angle TQR = 52^\circ.
    3. ∠SRT=52∘\angle SRT = 52^\circ (kutoka maandishi) ni sahihi.

    Kutokana na utata uliopo, jibu la (e) linaweza kuwa na tafsiri tofauti.
    Ikiwa ∠SQT=∠PTS=76∘\angle SQT = \angle PTS = 76^\circ (Alternate Segment Theorem).
    Na ∠PQT=∠PST=52∘\angle PQT = \angle PST = 52^\circ (Pembe katika sehemu moja).
    Basi ∠PQS=∠SQT−∠PQT=76∘−52∘=24∘\angle PQS = \angle SQT - \angle PQT = 76^\circ - 52^\circ = 24^\circ.
    Katika △PQS\triangle PQS, ∠PSQ=180∘−(∠SPQ+∠PQS)=180∘−(52∘+24∘)=104∘\angle PSQ = 180^\circ - (\angle SPQ + \angle PQS) = 180^\circ - (52^\circ + 24^\circ) = 104^\circ.

    • ∠PSQ=104∘\boxed{\angle PSQ = 104^\circ} Sababu: Alternate Segment Theorem, pembe katika sehemu moja, na jumla ya pembe katika pembetatu. (Kumbuka utata wa ∠SRT\angle SRT na ∠SQT\angle SQT).
Was this helpful?

Try one yourself

A new problem that tests the same skill.

Still stuck on this one?

Ask a follow-up, and the answer starts from this question.

Got a different question?Ask your own question

More Mathematics Questions

QIn the figure below QOT is a diameter and angle QTP = 90°, angle TQR = 16°, and angle QRT = 32°…QIn the given figure, RS and RT are tangent to the circle with center O. If angle SRT is 40 degrees…QIn the diagram, the points A, B, C and D lie on the circumference of a circle, centre O. The line ST…QIn the diagram below P,Q,R and S lie on a circle and TQ = TAPR and TS are parallel. Angle TQR = 70°…QGiven that RS and RT are tangent lines to the circle with center O, the radii OS and OT are…
Browse by topic:Geometry
See all Mathematics questions →
Got a syllabus? Photograph it and I'll tell you what's due and what's worth the most.
Handwritten step-by-step solution preview

Handwritten Step-by-Step Solution

Get this as a handwritten image on WhatsApp — like a tutor wrote it for you.

Try on WhatsApp