Integral sec⁻¹ x dx = (1) sec⁻¹ x sqrt(x) + 2 sqrt(x) - 1 / sec⁻¹ x sqrt(x) - sqrt(x) - 1 (2) sec⁻¹ x sqrt(x) - sqrt(x) - 1 (3) sec⁻¹ x - tan⁻¹ sqrt(x) (4) sec⁻¹ sqrt(x) - log(1+x) + c (5) अनुत्तरित प्रश्न

हमें समाकलन ज्ञात करना है:

$$I = \int \sec^{-1}\sqrt{x} \, dx$$

मान लीजिए $u = \sec^{-1}\sqrt{x}$।
तो $\sec u = \sqrt{x}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\sec^2 u = x$।
अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:

$$2 \sec u (\sec u \tan u) du = dx$$ $$2 \sec^2 u \tan u \, du = dx$$

या $x$ के सापेक्ष अवकलन करने के बजाय, $u$ के सापेक्ष अवकलन करें:

$$dx = 2 \sec u (\sec u \tan u) du = 2 \sec^2 u \tan u \, du$$

अब, $\tan u$ को $\sec u$ के पदों में व्यक्त करें:

$$\tan u = \sqrt{\sec^2 u - 1} = \sqrt{x - 1}$$

तो, $dx = 2x \sqrt{x-1} \, du$। यह थोड़ा जटिल हो रहा है।

एक वैकल्पिक प्रतिस्थापन का प्रयास करें:
मान लीजिए $\sqrt{x} = t$।
तो $x = t^2$।
$dx = 2t \, dt$।
अब समाकलन बन जाता है:

$$I = \int \sec^{-1}t \cdot 2t \, dt$$ $$I = 2 \int t \sec^{-1}t \, dt$$

खंडशः समाकलन का सूत्र है: $\int v \, dw = vw - \int w \, dv$।
यहाँ, $v = \sec^{-1}t$ (पहला फलन) और $dw = t \, dt$ (दूसरा फलन)।
$dv = \frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \, dt$
$w = \int t \, dt = \frac{t^2}{2}$
अब सूत्र में मान रखें:

$$I = 2 \left[ \sec^{-1}t \cdot \frac{t^2}{2} - \int \frac{t^2}{2} \cdot \frac{1}{t\sqrt{t^2-1}} \, dt \right]$$ $$I = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \sec^{-1}t - \frac{1}{2} \int \frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \, dt \right]$$ $$I = t^2 \sec^{-1}t - \int \frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \, dt$$

शेष समाकलन $\int \frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \, dt$ को हल करने के लिए, एक और प्रतिस्थापन करें।
मान लीजिए $z = t^2 - 1$।
तो $dz = 2t \, dt \implies t \, dt = \frac{1}{2} dz$।

$$\int \frac{t}{\sqrt{t^2-1}} \, dt = \int \frac{1}{\sqrt{z}} \cdot \frac{1}{2} dz = \frac{1}{2} \int z^{-1/2} \, dz$$ $$= \frac{1}{2} \frac{z^{1/2}}{1/2} + C' = \sqrt{z} + C' = \sqrt{t^2-1} + C'$$

$$I = t^2 \sec^{-1}t - \sqrt{t^2-1} + C$$

अब $t = \sqrt{x}$ को वापस प्रतिस्थापित करें:

$$I = (\sqrt{x})^2 \sec^{-1}(\sqrt{x}) - \sqrt{(\sqrt{x})^2-1} + C$$ $$I = x \sec^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x-1} + C$$

हमारा हल $x \sec^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x-1} + C$ है।
यह विकल्प (2) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{\text{(2) } x \sec^{-1}\sqrt{x} - \sqrt{x-1} + c}$.