![Investigate the linear dependence of vectors if possible find the relation between them where X1 = (1, 2, 4), X2 = (2, −1, 3), X3 = (0, 1, 2), X4 = (−3, 7, 2). Diagonalize the matrix: A = [[8, -6, 2], [-6, 7, -4], [2, -4, 3]].](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fohijasnjvprzodcmxltt.supabase.co%2Fstorage%2Fv1%2Fobject%2Fpublic%2Fwhatsapp-images%2F1780815196810-aeaa8389f469bdd4.png&w=3840&q=75)
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
Step 1: रैखिक निर्भरता की जाँच करें। दिए गए सदिश R^3 में हैं। हमारे पास 4 सदिश हैं: X_1 = (1, 2, 4), X_2 = (2, -1, 3), X_3 = (0, 1, 2), X_4 = (-3, 7, 2)। चूंकि सदिशों की संख्या (4) सदिश स्थान की विमा (3) से अधिक है, इसलिए सदिश रैखिक रूप से निर्भर होने चाहिए। Step 2: रैखिक संबंध स्थापित करें। सदिशों के रैखिक रूप से निर्भर होने का अर्थ है कि ऐसे अदिश c_1, c_2, c_3, c_4 मौजूद हैं, जिनमें से सभी शून्य नहीं हैं, जैसे कि: c_1 X_1 + c_2 X_2 + c_3 X_3 + c_4 X_4 = 0 सदिशों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर: c_1 (1, 2, 4) + c_2 (2, -1, 3) + c_3 (0, 1, 2) + c_4 (-3, 7, 2) = (0, 0, 0) यह निम्नलिखित समीकरणों की प्रणाली की ओर ले जाता है: c_1 + 2c_2 + 0c_3 - 3c_4 &= 0 \\ 2c_1 - c_2 + c_3 + 7c_4 &= 0 \\ 4c_1 + 3c_2 + 2c_3 + 2c_4 &= 0 Step 3: समीकरणों की प्रणाली को हल करें। हम संवर्धित मैट्रिक्स का उपयोग करके इस प्रणाली को हल कर सकते हैं: 1 & 2 & 0 & -3 & | & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 7 & | & 0 \\ 4 & 3 & 2 & 2 & | & 0 पंक्ति संक्रियाएँ करें: R_2 R_2 - 2R_1 R_3 R_3 - 4R_1 1 & 2 & 0 & -3 & | & 0 \\ 0 & -5 & 1 & 13 & | & 0 \\ 0 & -5 & 2 & 14 & | & 0 R_3 R_3 - R_2 1 & 2 & 0 & -3 & | & 0 \\ 0 & -5 & 1 & 13 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 Step 4: गुणांकों के लिए व्यंजक ज्ञात करें। अंतिम पंक्ति से: c_3 + c_4 = 0 c_3 = -c_4 दूसरी पंक्ति से: -5c_2 + c_3 + 13c_4 = 0 c_3 = -c_4 को प्रतिस्थापित करने पर: -5c_2 - c_4 + 13c_4 = 0 -5c_2 + 12c_4 = 0 5c_2 = 12c_4 c_2 = (12)/(5)c_4 पहली पंक्ति से: c_1 + 2c_2 - 3c_4 = 0 c_2 = (12)/(5)c_4 को प्रतिस्थापित करने पर: c_1 + 2((12)/(5)c_4) - 3c_4 = 0 c_1 + (24)/(5)c_4 - (15)/(5)c_4 = 0 c_1 + (9)/(5)c_4 = 0 c_1 = -(9)/(5)c_4 Step 5: पूर्णांक गुणांक चुनें। हम c_4 को एक मुक्त चर के रूप में चुन सकते हैं। पूर्णांक गुणांक प्राप्त करने के लिए, c_4 = 5 चुनें। तब: c_1 = -(9)/(5)(5) = -9 c_2 = (12)/(5)(5) = 12 c_3 = -(5) = -5 c_4 = 5 Step 6: निष्कर्ष और संबंध बताएं। सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं। उनके बीच का संबंध है: -9X_1 + 12X_2 - 5X_3 + 5X_4 = 0 अगला प्रश्न भेजें 📸