Investigate the linear dependence of vectors if possible find the relation between them where X1 = (1, 2, 4), X2 = (2, −1, 3), X3 = (0, 1, 2), X4 = (−3, 7, 2). Diagonalize the matrix: A = [[8, -6, 2], [-6, 7, -4], [2, -4, 3]].

दिए गए सदिश $\mathbb{R}^3$ में हैं। हमारे पास 4 सदिश हैं: $X_1 = (1, 2, 4)$, $X_2 = (2, -1, 3)$, $X_3 = (0, 1, 2)$, $X_4 = (-3, 7, 2)$।
चूंकि सदिशों की संख्या (4) सदिश स्थान की विमा (3) से अधिक है, इसलिए सदिश रैखिक रूप से निर्भर होने चाहिए।

सदिशों के रैखिक रूप से निर्भर होने का अर्थ है कि ऐसे अदिश $c_1, c_2, c_3, c_4$ मौजूद हैं, जिनमें से सभी शून्य नहीं हैं, जैसे कि:

सदिशों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

यह निम्नलिखित समीकरणों की प्रणाली की ओर ले जाता है:
\begin{align*} c_1 + 2c_2 + 0c_3 - 3c_4 &= 0 \ 2c_1 - c_2 + c_3 + 7c_4 &= 0 \ 4c_1 + 3c_2 + 2c_3 + 2c_4 &= 0 \end{align*}

हम संवर्धित मैट्रिक्स का उपयोग करके इस प्रणाली को हल कर सकते हैं:

पंक्ति संक्रियाएँ करें:
$R_2 \to R_2 - 2R_1$
$R_3 \to R_3 - 4R_1$

$R_3 \to R_3 - R_2$

अंतिम पंक्ति से:

दूसरी पंक्ति से:

$c_3 = -c_4$ को प्रतिस्थापित करने पर:

पहली पंक्ति से:

$c_2 = \frac{12}{5}c_4$ को प्रतिस्थापित करने पर:

हम $c_4$ को एक मुक्त चर के रूप में चुन सकते हैं। पूर्णांक गुणांक प्राप्त करने के लिए, $c_4 = 5$ चुनें।
तब:
$c_1 = -\frac{9}{5}(5) = -9$
$c_2 = \frac{12}{5}(5) = 12$
$c_3 = -(5) = -5$
$c_4 = 5$

सदिश रैखिक रूप से निर्भर हैं। उनके बीच का संबंध है: