Je ne comprends pas corrigé de l'exercice2 b .

On commence par calculer la valeur de la fonction au point $x_0 = 0$:

$$f(0) = \frac{|0| + 1}{0 - 2} = \frac{0 + 1}{-2} = -\frac{1}{2}$$

Pour $x < 0$, la valeur absolue $|x|$ est égale à $-x$.
Donc, pour $x < 0$, la fonction s'écrit $f(x) = \frac{-x + 1}{x - 2}$.
La formule de la dérivée à gauche est:

$$f'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$

Substituons $f(x)$ et $f(0)$:

$$f'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{-x + 1}{x - 2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{x}$$

Simplifions le numérateur. On a une soustraction de fractions:

$$\frac{-x + 1}{x - 2} + \frac{1}{2}$$

Pour les additionner, nous devons trouver un dénominateur commun, qui est $2(x - 2)$:

$$= \frac{2(-x + 1)}{2(x - 2)} + \frac{1(x - 2)}{2(x - 2)}$$ $$= \frac{-2x + 2 + x - 2}{2(x - 2)}$$ $$= \frac{-x}{2(x - 2)}$$

Maintenant, nous réinsérons cette expression simplifiée dans la limite:

$$f'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\frac{-x}{2(x - 2)}}{x}$$

Ceci peut être réécrit comme:

$$f'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{2x(x - 2)}$$

Puisque $x \to 0^-$, $x$ n'est pas exactement 0, donc nous pouvons simplifier par $x$:

$$f'_g(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-1}{2(x - 2)}$$

Maintenant, nous pouvons substituer $x = 0$:

$$f'_g(0) = \frac{-1}{2(0 - 2)} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4}$$

La fonction $f$ est dérivable à gauche en $x_0 = 0$ et sa dérivée à gauche est $\frac{1}{4}$.

Pour $x > 0$, la valeur absolue $|x|$ est égale à $x$.
Donc, pour $x > 0$, la fonction s'écrit $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$.
La formule de la dérivée à droite est:

$$f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$

Substituons $f(x)$ et $f(0)$:

$$f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x + 1}{x - 2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{x}$$

Simplifions le numérateur. On a une soustraction de fractions:

$$\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{1}{2}$$

Le dénominateur commun est $2(x - 2)$:

$$= \frac{2(x + 1)}{2(x - 2)} + \frac{1(x - 2)}{2(x - 2)}$$ $$= \frac{2x + 2 + x - 2}{2(x - 2)}$$ $$= \frac{3x}{2(x - 2)}$$

Maintenant, nous réinsérons cette expression simplifiée dans la limite:

$$f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{3x}{2(x - 2)}}{x}$$

Ceci peut être réécrit comme:

$$f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{3x}{2x(x - 2)}$$

Puisque $x \to 0^+$, $x$ n'est pas exactement 0, donc nous pouvons simplifier par $x$:

$$f'_d(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{3}{2(x - 2)}$$

Maintenant, nous pouvons substituer $x = 0$:

$$f'_d(0) = \frac{3}{2(0 - 2)} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$$

La fonction $f$ est dérivable à droite en $x_0 = 0$ et sa dérivée à droite est $-\frac{3}{4}$.

Puisque $f'_g(0) = \frac{1}{4}$ et $f'_d(0) = -\frac{3}{4}$, les dérivées à gauche et à droite existent.
La fonction $f(x) = \frac{|x| + 1}{x - 2}$ est dérivable à gauche et à droite en $x_0 = 0$.
Cependant, comme $f'_g(0) \neq f'_d(0)$, la fonction n'est pas dérivable au point $x_0 = 0$.

J'espère que cette explication détaillée des étapes de simplification t'aide à mieux comprendre !