Les deux exercices et le problème sont obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée.

2) a) Déterminer l'entier naturel $n$ tel que $U_n = -99$.

2) b) Soit $S = U_0 + U_1 + \dots + U_{50}$. Prouver que $S = -2499$.

Le nombre de termes est $50 - 0 + 1 = 51$.

3) Soit $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite définie par : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $V_n = e^{-U_n}$.

a) Démontrer que $(V_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique de raison $q = e^2$.

On sait que $U_{n+1} = U_n + r = U_n - 2$.

Puisque le rapport est une constante $e^2$, la suite $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^2$.

b) Exprimer $V_n$ en fonction de $V_0$. En déduire $\lim_{n \to +\infty} V_n$.

Puisque $q = e^2 > 1$, et $V_0 = e^{-1} > 0$, la suite $(V_n)$ tend vers $+\infty$.

Exercice 2

Une boîte contient 10 crayons indiscernables au toucher:

• 3 rouges (numérotés 1, 2, 3)
• 3 blancs (numérotés 1, 1, 2)
• 4 verts (numérotés 1, 2, 4, 4) Total de crayons = 10.

1) Un enfant prend, au hasard et d'un seul coup, 3 crayons de la boîte.

Le nombre total de cas possibles est 120.

A: "Obtenir 3 crayons de couleurs différentes".

B: "Obtenir exactement 2 crayons blancs".

2) Un autre enfant prend au hasard, un à un avec remise, 3 crayons de la boîte.
Le nombre total de cas possibles est $10 \times 10 \times 10 = 10^3 = 1000$.

C: "Obtenir, dans l'ordre, un crayon rouge et deux crayons verts".

Il y a 3 crayons rouges sur 10. $P(\text{Rouge}) = \frac{3}{10}$.

Il y a 4 crayons verts sur 10. $P(\text{Vert}) = \frac{4}{10}$.

$P(\text{Vert}) = \frac{4}{10}$.

D: "Obtenir 3 crayons dont la somme des numéros est égale à 5".
Les numéros disponibles sur les crayons sont:

• 1 (R1, W1, W1, G1) - 4 crayons
• 2 (R2, W2, G2) - 3 crayons
• 3 (R3) - 1 crayon
• 4 (G4, G4) - 2 crayons Total 10 crayons. On cherche 3 numéros $(n_1, n_2, n_3)$ tels que $n_1 + n_2 + n_3 = 5$. Les tirages sont avec remise et ordonnés. Les combinaisons de numéros possibles (sans ordre) sont:
• (1, 1, 3):
  • Permutations: (1,1,3), (1,3,1), (3,1,1)
  • Nombre de façons pour (1,1,3): $4 \times 4 \times 1 = 16$
  • Nombre de façons pour (1,3,1): $4 \times 1 \times 4 = 16$
  • Nombre de façons pour (3,1,1): $1 \times 4 \times 4 = 16$
  • Total pour (1,1,3) = $16+16+16 = 48$
• (1, 2, 2):
  • Permutations: (1,2,2), (2,1,2), (2,2,1)
  • Nombre de façons pour (1,2,2): $4 \times 3 \times 3 = 36$
  • Nombre de façons pour (2,1,2): $3 \times 4 \times 3 = 36$
  • Nombre de façons pour (2,2,1): $3 \times 3 \times 4 = 36$
  • Total pour (1,2,2) = $36+36+36 = 108$

Nombre de cas favorables = $48 + 108 = 156$.

E: "Obtenir 3 crayons dont le produit des numéros est égal à 8".
On cherche 3 numéros $(n_1, n_2, n_3)$ tels que $n_1 \times n_2 \times n_3 = 8$. Les tirages sont avec remise et ordonnés.
Les combinaisons de numéros possibles (sans ordre) sont:

• (1, 2, 4):
  • Permutations: (1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1)
  • Nombre de façons pour (1,2,4): $4 \times 3 \times 2 = 24$
  • Nombre de façons pour (1,4,2): $4 \times 2 \times 3 = 24$
  • Nombre de façons pour (2,1,4): $3 \times 4 \times 2 = 24$
  • Nombre de façons pour (2,4,1): $3 \times 2 \times 4 = 24$
  • Nombre de façons pour (4,1,2): $2 \times 4 \times 3 = 24$
  • Nombre de façons pour (4,2,1): $2 \times 3 \times 4 = 24$
  • Total pour (1,2,4) = $6 \times 24 = 144$
• (2, 2, 2):
  • Permutation unique: (2,2,2)
  • Nombre de façons pour (2,2,2): $3 \times 3 \times 3 = 27$

Nombre de cas favorables = $144 + 27 = 171$.

Problème

Soit $f$ la fonction numérique d'une variable réelle $x$ définie par : $f(x) = x - \ln x$.

1) Déterminer l'ensemble de définition $D_f$.

2) a) Vérifier que pour tout $x > 0$; $f(x) = x\left(1 - \frac{\ln x}{x}\right)$.

2) b) On admet que $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$. Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

2) c) Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Qu'en déduit-on pour la courbe (C)?

Puisque $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$, la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe (C).

La courbe (C) admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.

3) a) Démontrer que pour tout $x > 0$, $f'(x) = \frac{x-1}{x}$.

La dérivée de $x$ est 1.
La dérivée de $\ln x$ est $\frac{1}{x}$.

3) b) Étudier le sens de variations de $f$ sur $]0; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations.

Pour $x \in ]0; +\infty[$, le dénominateur $x$ est toujours positif. Le signe de $f'(x)$ dépend donc du signe du numérateur $x-1$.

• Si $x-1 < 0 \implies x < 1$, alors $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante sur $]0; 1[$.
• Si $x-1 = 0 \implies x = 1$, alors $f'(x) = 0$. La fonction $f$ admet un extremum en $x=1$.
• Si $x-1 > 0 \implies x > 1$, alors $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est croissante sur $]1; +\infty[$.

4) Reproduire puis compléter le tableau suivant :
On donne $\ln 2 \approx 0.69$, $\ln 3 \approx 1.09$ et $e \approx 2.71$.
$f(x) = x - \ln x$.

• $f(2) = 2 - \ln 2 \approx 2 - 0.69 = 1.31$
• $f(e) = e - \ln e = e - 1 \approx 2.71 - 1 = 1.71$
• $f(4) = 4 - \ln 4 = 4 - 2\ln 2 \approx 4 - 2(0.69) = 4 - 1.38 = 2.62$
• $f(6) = 6 - \ln 6 = 6 - (\ln 2 + \ln 3) \approx 6 - (0.69 + 1.09) = 6 - 1.78 = 4.22$

5) Tracer la courbe (C).
La courbe (C) a une asymptote verticale en $x=0$. Elle atteint un minimum local en $(1, 1)$. Elle passe par les points approximatifs $(2, 1.31)$, $(2.71, 1.71)$, $(4, 2.62)$, $(6, 4.22)$.

Pour A2 seulement

6) Soit $F$ la fonction définie par : pour tout $x > 0$, $F(x) = \frac{x^2}{2} - x\ln x + x$.

a) Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$.

Pour $x\ln x$, utiliser la règle du produit $(uv)' = u'v + uv'$ avec $u=x$ et $v=\ln x$.

Puisque $F'(x) = f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0; +\infty[$.

b) Calculer, en cm$^2$ et à $10^{-2}$ près, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine plan délimité par la courbe (C), l'axe $(x'Ox)$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$.

Puisque $f(x) \ge 0$ sur $[1, e]$ (le minimum est $f(1)=1$), l'aire est:

Arrondi à $10^{-2}$ près: