lim x->0 [tan(pi/4+x)]1/x का मान है

यह प्रश्न सीमा (limit) से संबंधित है। हमें दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करना है: _x 0 [ (()/(4) + x) ]^(1)/(x) Step 1: सीमा का प्रकार पहचानें। जब x 0, तो (()/(4) + x) (()/(4)) = 1 और (1)/(x) । यह 1^ के रूप का एक अनिर्धारित रूप (indeterminate form) है। इस प्रकार की सीमा को हल करने के लिए, हम सूत्र _x a [f(x)]^g(x) = e^_x a g(x) [f(x) - 1] का उपयोग करते हैं, जहाँ f(x) 1 और g(x) । Step 2: घातांक में सीमा L ज्ञात करें। यहाँ f(x) = (()/(4) + x) और g(x) = (1)/(x)। तो, हमें L = _x 0 (1)/(x) [ (()/(4) + x) - 1 ] का मान ज्ञात करना है। L = _x 0 (()/(4) + x) - 1x Step 3: (()/(4) + x) को सरल करें। हम (A+B) = ( A + B)/(1 - A B) सूत्र का उपयोग करते हैं। A = ()/(4) और B = x रखने पर: (()/(4) + x) = (()/(4)) + x1 - (()/(4)) x = (1 + x)/(1 - x) Step 4: L के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें और सरल करें। L = _x 0 (1 + x)/(1 - x) - 1x L = _x 0 ((1 + x) - (1 - x))/(1 - x)x L = _x 0 (1 + x - 1 + x)/(1 - x)x L = _x 0 (2 x)/(1 - x)x L = _x 0 (2 x)/(x(1 - x)) Step 5: सीमा का मूल्यांकन करें। हम जानते हैं कि _x 0 ( x)/(x) = 1 और _x 0 (1 - x) = 1 - 0 = 1। L = 2 × _x 0 ( x)/(x) × _x 0 (1)/(1 - x) L = 2 × 1 × (1)/(1) L = 2 वैकल्पिक रूप से, L'Hopital's Rule का उपयोग करके: L = _x 0 (()/(4) + x) - 1x यह (0)/(0) रूप का है। अंश का अवकलज ^2(()/(4) + x) है और हर का अवकलज 1 है। L = _x 0 (^2()/(4) + x)1 = ^2(()/(4) + 0) = ^2(()/(4)) = (sqrt(2))^2 = 2 Step 6: अंतिम उत्तर ज्ञात करें। चूंकि मूल सीमा e^L के बराबर है, तो: _x 0 [ (()/(4) + x) ]^(1)/(x) = e^2 यह विकल्प (3) से मेल खाता है। The final answer is 3. e^2 Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.