lim x->0 [tan(pi/4+x)]1/x का मान है

जब $x \to 0$, तो $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \to \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ और $\frac{1}{x} \to \infty$।
यह $1^\infty$ के रूप का एक अनिर्धारित रूप (indeterminate form) है।
इस प्रकार की सीमा को हल करने के लिए, हम सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) [f(x) - 1]}$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $f(x) \to 1$ और $g(x) \to \infty$।

यहाँ $f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ और $g(x) = \frac{1}{x}$।
तो, हमें $L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - 1 \right]$ का मान ज्ञात करना है।

हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
$A = \frac{\pi}{4}$ और $B = x$ रखने पर:

हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} (1 - \tan x) = 1 - 0 = 1$।

वैकल्पिक रूप से, L'Hopital's Rule का उपयोग करके:
$L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - 1}{x}$
यह $\frac{0}{0}$ रूप का है। अंश का अवकलज $\sec^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ है और हर का अवकलज 1 है।

चूंकि मूल सीमा $e^L$ के बराबर है, तो:

यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\text{3. } e^2$