lim x->0 [tan(pi/4+x)]1/x का मान है

यह प्रश्न सीमा (limit) से संबंधित है। हमें दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करना है: $\lim_{x \to 0} \left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \right]^{\frac{1}{x}}$

Step 1: सीमा का प्रकार पहचानें। जब $x \to 0$, तो $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \to \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ और $\frac{1}{x} \to \infty$। यह $1^\infty$ के रूप का एक अनिर्धारित रूप (indeterminate form) है। इस प्रकार की सीमा को हल करने के लिए, हम सूत्र $\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) [f(x) - 1]}$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $f(x) \to 1$ और $g(x) \to \infty$।

Step 2: घातांक में सीमा $L$ ज्ञात करें। यहाँ $f(x) = \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ और $g(x) = \frac{1}{x}$। तो, हमें $L = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - 1 \right]$ का मान ज्ञात करना है। $L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - 1}{x}$

Step 3: $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ को सरल करें। हम $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ सूत्र का उपयोग करते हैं। $A = \frac{\pi}{4}$ और $B = x$ रखने पर: $\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) = \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + \tan x}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) \tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$

Step 4: $L$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करें और सरल करें। $L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} - 1}{x}$ $L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{(1 + \tan x) - (1 - \tan x)}{1 - \tan x}}{x}$ $L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 + \tan x - 1 + \tan x}{1 - \tan x}}{x}$ $L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \tan x}{1 - \tan x}}{x}$ $L = \lim_{x \to 0} \frac{2 \tan x}{x(1 - \tan x)}$

Step 5: सीमा का मूल्यांकन करें। हम जानते हैं कि $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim_{x \to 0} (1 - \tan x) = 1 - 0 = 1$। $L = 2 \times \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 - \tan x}$ $L = 2 \times 1 \times \frac{1}{1}$ $L = 2$

वैकल्पिक रूप से, L'Hopital's Rule का उपयोग करके: $L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) - 1}{x}$ यह $\frac{0}{0}$ रूप का है। अंश का अवकलज $\sec^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$ है और हर का अवकलज $1$ है। $L = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2\left(\frac{\pi}{4} + x\right)}{1} = \sec^2\left(\frac{\pi}{4} + 0\right) = \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = (\sqrt{2})^2 = 2$

Step 6: अंतिम उत्तर ज्ञात करें। चूंकि मूल सीमा $e^L$ के बराबर है, तो: $\lim_{x \to 0} \left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right) \right]^{\frac{1}{x}} = e^2$

यह विकल्प (3) से मेल खाता है।

The final answer is $\boxed{3. e^2}$ Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.