This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
ScanSolve AI Answer
फलन f(x) = (x)/(2) + x को अंतराल (-()/(3), ()/(3)) पर सख्ती से बढ़ता हुआ दिखाने के लिए, हमें इसका पहला अवकलज f'(x) ज्ञात करना होगा और दिखाना होगा कि इस अंतराल में सभी x के लिए f'(x) > 0 है। Step 1: दिए गए फलन का अवकलज ज्ञात करें। f(x) = (x)/(2) + x x के सापेक्ष अवकलन करने पर: f'(x) = (d)/(dx)((x)/(2) + x) f'(x) = (1)/(2) + x Step 2: दिए गए अंतराल में x का मान ज्ञात करें। अंतराल (-()/(3), ()/(3)) है। हम जानते हैं कि x एक सम फलन है और x=0 पर इसका अधिकतम मान 1 होता है। अंतराल के सिरों पर x का मान है: (-()/(3)) = (()/(3)) = (1)/(2) चूंकि x (-()/(3), ()/(3)) के लिए, x का मान (1)/(2) से 1 के बीच होता है (जिसमें 1 शामिल है लेकिन (1)/(2) शामिल नहीं है)। अतः, (1)/(2) < x 1 Step 3: f'(x) के मान का विश्लेषण करें। f'(x) = (1)/(2) + x चूंकि (1)/(2) < x 1 है, हम दोनों तरफ (1)/(2) जोड़ने पर प्राप्त करते हैं: (1)/(2) + (1)/(2) < (1)/(2) + x (1)/(2) + 1 1 < f'(x) (3)/(2) चूंकि 1 < f'(x) (3)/(2) है, इसका मतलब है कि f'(x) हमेशा 1 से बड़ा है, और इसलिए f'(x) > 0 है। अतः, अंतराल (-()/(3), ()/(3)) में सभी x के लिए f'(x) > 0 है। इसलिए, फलन f(x) = (x)/(2) + x अंतराल (-()/(3), ()/(3)) पर सख्ती से बढ़ रहा है। अगला प्रश्न भेजो 📸