Show that the function f(x) = -x/2 + sin x is strictly increasing on (-pi/3, pi/3).

$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:

अंतराल $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ है।
हम जानते हैं कि $\cos x$ एक सम फलन है और $x=0$ पर इसका अधिकतम मान 1 होता है।
अंतराल के सिरों पर $\cos x$ का मान है:
$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$
चूंकि $x \in \left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ के लिए, $\cos x$ का मान $\frac{1}{2}$ से 1 के बीच होता है (जिसमें 1 शामिल है लेकिन $\frac{1}{2}$ शामिल नहीं है)।
अतः, $\frac{1}{2} < \cos x \le 1$

चूंकि $\frac{1}{2} < \cos x \le 1$ है, हम दोनों तरफ $\frac{1}{2}$ जोड़ने पर प्राप्त करते हैं:

चूंकि $1 < f'(x) \le \frac{3}{2}$ है, इसका मतलब है कि $f'(x)$ हमेशा 1 से बड़ा है, और इसलिए $f'(x) > 0$ है।

अतः, अंतराल $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ में सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इसलिए, फलन $f(x) = \frac{x}{2} + \sin x$ अंतराल $\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$ पर सख्ती से बढ़ रहा है।