Show that the function f, where f: x ↦ (1+2x)/(1-3x), x ∈ R, x ≠ 1/3 is injective.

Voici les solutions détaillées pour les questions de l'image : Question 1 : Énoncer les trois exigences pour une relation d'équivalence sur un ensemble S. Montrer que la relation "est un facteur de" n'est pas une relation d'équivalence sur l'ensemble N des nombres naturels. Step 1: Énoncer les trois propriétés d'une relation d'équivalence. Une relation sur un ensemble S est une relation d'équivalence si elle est : • Réflexive : Pour tout a S, a a. • Symétrique : Pour tout a, b S, si a b, alors b a. • Transitive : Pour tout a, b, c S, si a b et b c, alors a c. Step 2: Analyser la relation "est un facteur de" sur N pour la réflexivité. Soit la relation a b si a est un facteur de b. Pour la réflexivité, on doit vérifier si a est un facteur de a pour tout a N. Oui, car a = 1 · a. Donc, la relation est réflexive. Step 3: Analyser la relation "est un facteur de" sur N pour la symétrie. Pour la symétrie, on doit vérifier si a b b a. Prenons un exemple : 2 est un facteur de 4 (car 4 = 2 × 2). Donc 2 4. Cependant, 4 n'est pas un facteur de 2. Donc 4 2. Puisque la propriété de symétrie n'est pas satisfaite, la relation n'est pas symétrique. Step 4: Analyser la relation "est un facteur de" sur N pour la transitivité. Pour la transitivité, on doit vérifier si a b et b c a c. Si a est un facteur de b, alors b = k_1 a pour un entier k_1. Si b est un facteur de c, alors c = k_2 b pour un entier k_2. En substituant b dans la deuxième équation : c = k_2 (k_1 a) = (k_1 k_2) a. Puisque k_1 k_2 est un entier, a est un facteur de c. Donc, la relation est transitive. Step 5: Conclure si la relation est une relation d'équivalence. La relation "est un facteur de" est réflexive et transitive, mais elle n'est pas symétrique. Par conséquent, ce n'est pas une relation d'équivalence. Question 2 : Montrer que la fonction f, où f: x (1+2x)/(1-3x), x R, x ≠ (1)/(3) est injective. Step 1: Supposer que f(x_1) = f(x_2) pour x_1, x_2 dans le domaine de f. (1+2x_1)/(1-3x_1) = (1+2x_2)/(1-3x_2) Step 2: Effectuer un produit en croix. (1+2x_1)(1-3x_2) = (1+2x_2)(1-3x_1) Step 3: Développer les deux côtés de l'équation. 1 - 3x_2 + 2x_1 - 6x_1x_2 = 1 - 3x_1 + 2x_2 - 6x_1x_2 Step 4: Simplifier l'équation en annulant les termes identiques et en regroupant les termes. Soustraire 1 des deux côtés : -3x_2 + 2x_1 - 6x_1x_2 = -3x_1 + 2x_2 - 6x_1x_2 Ajouter 6x_1x_2 aux deux côtés : -3x_2 + 2x_1 = -3x_1 + 2x_2 Ajouter 3x_1 aux deux côtés : 2x_1 + 3x_1 - 3x_2 = 2x_2 5x_1 - 3x_2 = 2x_2 Ajouter 3x_2 aux deux côtés : 5x_1 = 5x_2 Step 5: Résoudre pour x_1. Diviser par 5 : x_1 = x_2 Puisque f(x_1) = f(x_2) implique x_1 = x_2, la fonction f est injective. Question 3 : Les fonctions f, g et h avec domaine R sont définies par f: x x^2, g: x x, h: x f(x) - g(x). Déterminer laquelle des fonctions f, g et h est (sont) impaire, paire ou ni l'un ni l'autre. Step 1: Analyser la fonction f(x) = x^2. Pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, on évalue f(-x). f(-x) = ((-x)^2) = (x^2) Puisque f(-x) = f(x), la fonction f est paire. Step 2: Analyser la fonction g(x) = x. On évalue g(-x). g(-x) = (-x) On sait que la fonction cosinus est une fonction paire, donc (-x) = x. Puisque g(-x) = g(x), la fonction g est paire. Step 3: Analyser la fonction h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - x. On évalue h(-x). h(-x) = f(-x) - g(-x) Comme f est paire, f(-x) = f(x). Comme g est paire, g(-x) = g(x). Donc : h(-x) = f(x) - g(x) = h(x) Puisque h(-x) = h(x), la fonction h est paire. Step 4: Conclure pour chaque fonction. • La fonction f(x) = x^2 est paire. • La fonction g(x) = x est paire. • La fonction h(x) = f(x) - g(x) est paire. 3 done, 2 left today. You're making progress.