Show that the function f, where f: x ↦ (1+2x)/(1-3x), x ∈ R, x ≠ 1/3 is injective.

Une relation $\Re$ sur un ensemble $S$ est une relation d'équivalence si elle est :

• Réflexive : Pour tout $a \in S$, $a \Re a$.
• Symétrique : Pour tout $a, b \in S$, si $a \Re b$, alors $b \Re a$.
• Transitive : Pour tout $a, b, c \in S$, si $a \Re b$ et $b \Re c$, alors $a \Re c$.

Soit la relation $a \Re b$ si $a$ est un facteur de $b$.
Pour la réflexivité, on doit vérifier si $a$ est un facteur de $a$ pour tout $a \in \mathbb{N}$.
Oui, car $a = 1 \cdot a$. Donc, la relation est réflexive.

Pour la symétrie, on doit vérifier si $a \Re b \implies b \Re a$.
Prenons un exemple : 2 est un facteur de 4 (car $4 = 2 \times 2$). Donc $2 \Re 4$.
Cependant, 4 n'est pas un facteur de 2. Donc $4 \not\Re 2$.
Puisque la propriété de symétrie n'est pas satisfaite, la relation n'est pas symétrique.

Pour la transitivité, on doit vérifier si $a \Re b$ et $b \Re c \implies a \Re c$.
Si $a$ est un facteur de $b$, alors $b = k_1 a$ pour un entier $k_1$.
Si $b$ est un facteur de $c$, alors $c = k_2 b$ pour un entier $k_2$.
En substituant $b$ dans la deuxième équation : $c = k_2 (k_1 a) = (k_1 k_2) a$.
Puisque $k_1 k_2$ est un entier, $a$ est un facteur de $c$. Donc, la relation est transitive.

La relation "est un facteur de" est réflexive et transitive, mais elle n'est pas symétrique. Par conséquent, ce n'est pas une relation d'équivalence.

Question 2 : Montrer que la fonction $f$, où $f: x \mapsto \frac{1+2x}{1-3x}$, $x \in \mathbb{R}$, $x \neq \frac{1}{3}$ est injective.

Soustraire 1 des deux côtés :

Ajouter $6x_1x_2$ aux deux côtés :

Ajouter $3x_1$ aux deux côtés :

Ajouter $3x_2$ aux deux côtés :

Diviser par 5 :

Puisque $f(x_1) = f(x_2)$ implique $x_1 = x_2$, la fonction $f$ est injective.

Question 3 : Les fonctions $f, g$ et $h$ avec domaine $\mathbb{R}$ sont définies par $f: x \mapsto \sin x^2$, $g: x \mapsto \cos x$, $h: x \mapsto f(x) - g(x)$. Déterminer laquelle des fonctions $f, g$ et $h$ est (sont) impaire, paire ou ni l'un ni l'autre.

Pour déterminer si une fonction est paire ou impaire, on évalue $f(-x)$.

Puisque $f(-x) = f(x)$, la fonction $f$ est paire.

On évalue $g(-x)$.

On sait que la fonction cosinus est une fonction paire, donc $\cos(-x) = \cos x$.
Puisque $g(-x) = g(x)$, la fonction $g$ est paire.

On évalue $h(-x)$.

Comme $f$ est paire, $f(-x) = f(x)$.
Comme $g$ est paire, $g(-x) = g(x)$.
Donc :

Puisque $h(-x) = h(x)$, la fonction $h$ est paire.

• La fonction $f(x) = \sin x^2$ est paire.
• La fonction $g(x) = \cos x$ est paire.
• La fonction $h(x) = f(x) - g(x)$ est paire.