MATHEMATIQUES SERIE D Cette épreuve comporte 3 pages numérotées 1/3, 2/3 et 3/3. Toute calculatrice…

Question

MATHEMATIQUES SERIE D Cette épreuve comporte 3 pages numérotées 1/3, 2/3 et 3/3. Toute calculatrice scientifique et non graphique est autorisée. EXERCICE 1 (2 points) Fourn les numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

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voici la résolution des exercices de mathématiques :

EXERCICE 1 (2 points)
Écris le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

FAUX. Si $\lim_{x \to a} u(x) = \ell$ et $\lim_{y \to \ell} v(y) = m$ , alors $\lim_{x \to a} v \circ u(x) = m$ . L'énoncé donne $\lim_{x \to a} v(x) = m$ , ce qui n'est pas la condition correcte pour la limite de la fonction composée.
FAUX. Pour que $f^{-1}$ soit dérivable en $b=f(a)$ , il faut que $f$ soit dérivable en $a$ et que $f'(a) \neq 0$ . L'énoncé indique $f'(a) = 0$ , ce qui implique que $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ .
FAUX. La droite de régression de X en Y est de la forme $x = \alpha y + \beta$ , où le coefficient $\alpha$ est donné par $\alpha = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(Y)}$ . L'énoncé donne $\alpha = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{V(X)}$ , qui est le coefficient de la droite de régression de Y en X.
VRAI. L'événement $E$ peut être décomposé en deux événements disjoints : $E \cap F$ (E et F se réalisent) et $E \cap \bar{F}$ (E se réalise et F ne se réalise pas). La probabilité de l'union d'événements disjoints est la somme de leurs probabilités, donc $P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap \bar{F})$ .

EXERCICE 2 (2 points)
Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie. Écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de l'information qui donne l'affirmation vraie.

A)

Définir un point invariant.

Un point invariant $z$ est tel que $z' = z$.

Résoudre l'équation pour $z$ .

$$
z = bz + c
$$
$$
z - bz = c
$$
$$
z(1-b) = c
$$

Exprimer $z$ .

Puisque $b \neq 1$, $1-b \neq 0$.
$$
z = \frac{c}{1-b}
$$
L'affixe du point invariant est $\boxed{\text{A)} \frac{c}{1-b}}$.

2. Aucune des options n'est correcte pour l'équation donnée.

Résoudre l'équation différentielle $y' - \frac{1}{2}y = 2$ .

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $y' + ay = b$, avec $a = -\frac{1}{2}$ et $b = 2$.  
La solution générale est de la forme $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$.

Substituer les valeurs de $a$ et $b$ .

$$
y(x) = C e^{-(-\frac{1}{2})x} + \frac{2}{-\frac{1}{2}}
$$
$$
y(x) = C e^{\frac{1}{2}x} - 4
$$
La solution générale est $y(x) = C e^{\frac{1}{2}x} - 4$. Aucune des options proposées (A, B, C, D) ne correspond à cette forme.

3. A)

Identifier la fonction à primitiver.
La fonction est $f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x}$.

Réécrire la fonction pour faciliter la recherche de primitive.

On peut écrire $f(x) = \frac{1}{\sin x} \times \frac{\cos x}{\sin x}$.  
On reconnaît la forme $u' u^{-2}$ si on pose $u(x) = \sin x$, alors $u'(x) = \cos x$.  
La primitive de $u' u^{-2}$ est $-u^{-1}$.

Appliquer la formule.

Une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -\frac{1}{\sin x}$.  
La primitive est $\boxed{\text{A)} x \mapsto -\frac{1}{\sin x}}$.

4. C)

Déterminer le domaine de définition de l'inéquation.

Pour que $\ln(4-x)$ soit défini, il faut $4-x > 0 \implies x < 4$.  
Pour que $\ln(x-3)$ soit défini, il faut $x-3 > 0 \implies x > 3$.  
Le domaine de définition est $D = ]3 ; 4[$.

Résoudre l'inéquation.

L'inéquation est $\ln(4-x) \ge \ln(x-3)$.  
Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, on peut écrire :
$$
4-x \ge x-3
$$
$$
4+3 \ge x+x
$$
$$
7 \ge 2x
$$
$$
x \le \frac{7}{2}
$$

Combiner avec le domaine de définition.

Les solutions doivent satisfaire $x \in ]3 ; 4[$ et $x \le \frac{7}{2}$.  
Puisque $\frac{7}{2} = 3,5$, l'ensemble des solutions est $]3 ; 3,5]$.  
L'ensemble des solutions est $\boxed{\text{C)} ]3 ; \frac{7}{2}]}$.

MATHEMATIQUES SERIE D Cette épreuve comporte 3 pages numérotées 1/3, 2/3 et 3/3. Toute calculatrice scientifique et non graphique est autorisée. EXERCICE 1 (2 points) Fourn les numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

Step-by-step solution

Définir un point invariant.

Résoudre l'équation pour $z$ .

Exprimer $z$ .

Résoudre l'équation différentielle $y' - \frac{1}{2}y = 2$ .

Substituer les valeurs de $a$ et $b$ .

Identifier la fonction à primitiver.

Réécrire la fonction pour faciliter la recherche de primitive.

Appliquer la formule.

Déterminer le domaine de définition de l'inéquation.

Résoudre l'inéquation.

Combiner avec le domaine de définition.

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Step-by-step solution

Définir un point invariant.

Résoudre l'équation pour zzz.

Exprimer zzz.

Résoudre l'équation différentielle y′−12y=2y' - \frac{1}{2}y = 2y′−21​y=2.

Substituer les valeurs de aaa et bbb.

Identifier la fonction à primitiver.

Réécrire la fonction pour faciliter la recherche de primitive.

Appliquer la formule.

Déterminer le domaine de définition de l'inéquation.

Résoudre l'inéquation.

Combiner avec le domaine de définition.

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Résoudre l'équation pour $z$ .

Exprimer $z$ .

Résoudre l'équation différentielle $y' - \frac{1}{2}y = 2$ .

Substituer les valeurs de $a$ et $b$ .