MATHEMATIQUES SERIE D Cette épreuve comporte 3 pages numérotées 1/3, 2/3 et 3/3. Toute calculatrice scientifique et non graphique est autorisée. EXERCICE 1 (2 points) Fourn les numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

voici la résolution des exercices de mathématiques :

EXERCICE 1 (2 points) Écris le numéro de chacun des énoncés ci-dessous suivi de VRAI si l'énoncé est vrai ou de FAUX si l'énoncé est faux.

1. FAUX. Si $\lim_{x \to a} u(x) = \ell$ et $\lim_{y \to \ell} v(y) = m$, alors $\lim_{x \to a} v \circ u(x) = m$. L'énoncé donne $\lim_{x \to a} v(x) = m$, ce qui n'est pas la condition correcte pour la limite de la fonction composée.

2. FAUX. Pour que $f^{-1}$ soit dérivable en $b=f(a)$, il faut que $f$ soit dérivable en $a$ et que $f'(a) \neq 0$. L'énoncé indique $f'(a) = 0$, ce qui implique que $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$.

3. FAUX. La droite de régression de X en Y est de la forme $x = \alpha y + \beta$, où le coefficient $\alpha$ est donné par $\alpha = \frac{Cov(X,Y)}{V(Y)}$. L'énoncé donne $\alpha = \frac{Cov(X,Y)}{V(X)}$, qui est le coefficient de la droite de régression de Y en X.

4. VRAI. L'événement $E$ peut être décomposé en deux événements disjoints : $E \cap F$ (E et F se réalisent) et $E \cap \bar{F}$ (E se réalise et F ne se réalise pas). La probabilité de l'union d'événements disjoints est la somme de leurs probabilités, donc $P(E) = P(E \cap F) + P(E \cap \bar{F})$.

EXERCICE 2 (2 points) Pour chacun des énoncés ci-dessous, les informations A, B, C et D permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie. Écris le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de l'information qui donne l'affirmation vraie.

1. A) Step 1: Définir un point invariant. Un point invariant $z$ est tel que $z' = z$. Step 2: Résoudre l'équation pour $z$. $z = bz + c$ $z - bz = c$ $z(1-b) = c$ Step 3: Exprimer $z$. Puisque $b \neq 1$, $1-b \neq 0$. $z = \frac{c}{1-b}$ L'affixe du point invariant est $\boxed{A) \frac{c}{1-b}}$.

2. Aucune des options n'est correcte pour l'équation donnée. Step 1: Résoudre l'équation différentielle $y' - \frac{1}{2}y = 2$. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme $y' + ay = b$, avec $a = -\frac{1}{2}$ et $b = 2$. La solution générale est de la forme $y(x) = C e^{-ax} + \frac{b}{a}$. Step 2: Substituer les valeurs de $a$ et $b$. $y(x) = C e^{-(-\frac{1}{2})x} + \frac{2}{-\frac{1}{2}}$ $y(x) = C e^{\frac{1}{2}x} - 4$ La solution générale est $y(x) = C e^{\frac{1}{2}x} - 4$. Aucune des options proposées (A, B, C, D) ne correspond à cette forme.

3. A) Step 1: Identifier la fonction à primitiver. La fonction est $f(x) = \frac{\cos x}{\sin^2 x}$. Step 2: Réécrire la fonction pour faciliter la recherche de primitive. On peut écrire $f(x) = \frac{1}{\sin x} \times \frac{\cos x}{\sin x}$. On reconnaît la forme $u' u^{-2}$ si on pose $u(x) = \sin x$, alors $u'(x) = \cos x$. La primitive de $u' u^{-2}$ est $-u^{-1}$. Step 3: Appliquer la formule. Une primitive de $f(x)$ est $F(x) = -\frac{1}{\sin x}$. La primitive est $\boxed{A) x \mapsto -\frac{1}{\sin x}}$.

4. C) Step 1: Déterminer le domaine de définition de l'inéquation. Pour que $\ln(4-x)$ soit défini, il faut $4-x > 0 \implies x < 4$. Pour que $\ln(x-3)$ soit défini, il faut $x-3 > 0 \implies x > 3$. Le domaine de définition est $D = ]3 ; 4[$. Step 2: Résoudre l'inéquation. L'inéquation est $\ln(4-x) \ge \ln(x-3)$. Puisque la fonction $\ln$ est strictement croissante, on peut écrire : $4-x \ge x-3$ $4+3 \ge x+x$ $7 \ge 2x$ $x \le \frac{7}{2}$ Step 3: Combiner avec le domaine de définition. Les solutions doivent satisfaire $x \in ]3 ; 4[$ et $x \le \frac{7}{2}$. Puisque $\frac{7}{2} = 3,5$, l'ensemble des solutions est $]3 ; 3,5]$. L'ensemble des solutions est $\boxed{C) ]3 ; \frac{7}{2}]}$.

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