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On a HH:MM format clock, what is the smallest interval between two times that is palindromic? What will the next immediate palindromic number be, and how many kilometres will it take to reach this number?

Mathematics

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Step-by-step solution

41 steps

1. कप्रेकर की दिनचर्या (3-अंकीय संख्याएँ):
कप्रेकर की दिनचर्या में, एक 3-अंकीय संख्या (जिसके सभी अंक समान न हों) से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ बनाई जाती हैं, और फिर उन्हें घटाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कप्रेकर स्थिरांक 495 प्राप्त न हो जाए।

a) 743

  1. संख्या 743 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 743
    आरोही: 347
    घटाएँ: 743−347=396743 - 347 = 396

  2. 396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 963
    आरोही: 369
    घटाएँ: 963−369=594963 - 369 = 594

  3. 594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 954
    आरोही: 459
    घटाएँ: 954−459=495954 - 459 = 495
    495 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

    b) 365

  4. संख्या 365 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 653
    आरोही: 356
    घटाएँ: 653−356=297653 - 356 = 297

  5. 297 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 972
    आरोही: 279
    घटाएँ: 972−279=693972 - 279 = 693

  6. 693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 963
    आरोही: 369
    घटाएँ: 963−369=594963 - 369 = 594

  7. 594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 954
    आरोही: 459
    घटाएँ: 954−459=495954 - 459 = 495
    495 तक पहुँचने में 4 चरण लगे।

    c) 901

  8. संख्या 901 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 910
    आरोही: 019 (या 19)
    घटाएँ: 910−019=891910 - 019 = 891

  9. 891 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 981
    आरोही: 189
    घटाएँ: 981−189=792981 - 189 = 792

  10. 792 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 972
    आरोही: 279
    घटाएँ: 972−279=693972 - 279 = 693

  11. 693 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 963
    आरोही: 369
    घटाएँ: 963−369=594963 - 369 = 594

  12. 594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 954
    आरोही: 459
    घटाएँ: 954−459=495954 - 459 = 495
    495 तक पहुँचने में 5 चरण लगे।

    d) 537

  13. संख्या 537 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 753
    आरोही: 357
    घटाएँ: 753−357=396753 - 357 = 396

  14. 396 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 963
    आरोही: 369
    घटाएँ: 963−369=594963 - 369 = 594

  15. 594 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 954
    आरोही: 459
    घटाएँ: 954−459=495954 - 459 = 495
    495 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

    2. अधिकतम और न्यूनतम चरण (3-अंकीय संख्याएँ):

    • 743: 3 चरण
    • 365: 4 चरण
    • 901: 5 चरण
    • 537: 3 चरण

  16. चरणों की संख्या की तुलना करें।

    अधिकतम चरण: 901 (5 चरण)
    न्यूनतम चरण: 743 और 537 (3 चरण)
    अधिकतम चरण: 901, न्यूनतम चरण: 743 और 537\boxed{\text{अधिकतम चरण: } \textbf{901}, \text{ न्यूनतम चरण: } \textbf{743} \text{ और } \textbf{537}}

    3. अधिकतम चरण (4-अंकीय संख्याएँ):
    कप्रेकर की दिनचर्या में, एक 4-अंकीय संख्या (जिसके सभी अंक समान न हों) से सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्याएँ बनाई जाती हैं, और फिर उन्हें घटाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कप्रेकर स्थिरांक 6174 प्राप्त न हो जाए।

    a) 2143

  17. संख्या 2143 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 4321
    आरोही: 1234
    घटाएँ: 4321−1234=30874321 - 1234 = 3087

  18. 3087 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8730
    आरोही: 0378
    घटाएँ: 8730−0378=83528730 - 0378 = 8352

  19. 8352 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8532
    आरोही: 2358
    घटाएँ: 8532−2358=61748532 - 2358 = 6174
    6174 तक पहुँचने में 3 चरण लगे।

    b) 6753

  20. संख्या 6753 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7653
    आरोही: 3567
    घटाएँ: 7653−3567=40867653 - 3567 = 4086

  21. 4086 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8640
    आरोही: 0468
    घटाएँ: 8640−0468=81728640 - 0468 = 8172

  22. 8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8721
    आरोही: 1278
    घटाएँ: 8721−1278=74438721 - 1278 = 7443

  23. 7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7443
    आरोही: 3447
    घटाएँ: 7443−3447=39967443 - 3447 = 3996

  24. 3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 9963
    आरोही: 3699
    घटाएँ: 9963−3699=62649963 - 3699 = 6264

  25. 6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 6642
    आरोही: 2466
    घटाएँ: 6642−2466=41766642 - 2466 = 4176

  26. 4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7641
    आrohi: 1467
    घटाएँ: 7641−1467=61747641 - 1467 = 6174
    6174 तक पहुँचने में 7 चरण लगे।

    c) 3987

  27. संख्या 3987 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 9873
    आरोही: 3789
    घटाएँ: 9873−3789=60849873 - 3789 = 6084

  28. 6084 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8640
    आरोही: 0468
    घटाएँ: 8640−0468=81728640 - 0468 = 8172

  29. 8172 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8721
    आरोही: 1278
    घटाएँ: 8721−1278=74438721 - 1278 = 7443

  30. 7443 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7443
    आरोही: 3447
    घटाएँ: 7443−3447=39967443 - 3447 = 3996

  31. 3996 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 9963
    आरोही: 3699
    घटाएँ: 9963−3699=62649963 - 3699 = 6264

  32. 6264 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 6642
    आरोही: 2466
    घटाएँ: 6642−2466=41766642 - 2466 = 4176

  33. 4176 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7641
    आरोही: 1467
    घटाएँ: 7641−1467=61747641 - 1467 = 6174
    6174 तक पहुँचने में 7 चरण लगे।

    d) 2377

  34. संख्या 2377 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 7732
    आरोही: 2377
    घटाएँ: 7732−2377=53557732 - 2377 = 5355

  35. 5355 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 5553
    आरोही: 3555
    घटाएँ: 5553−3555=19985553 - 3555 = 1998

  36. 1998 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 9981
    आरोही: 1899
    घटाएँ: 9981−1899=80829981 - 1899 = 8082

  37. 8082 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8820
    आरोही: 0288
    घटाएँ: 8820−0288=85328820 - 0288 = 8532

  38. 8532 के अंकों को अवरोही और आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

    अवरोही: 8532
    आरोही: 2358
    घटाएँ: 8532−2358=61748532 - 2358 = 6174
    6174 तक पहुँचने में 5 चरण लगे।

  39. चरणों की संख्या की तुलना करें।

    • 2143: 3 चरण
    • 6753: 7 चरण
    • 3987: 7 चरण
    • 2377: 5 चरण अधिकतम चरण: 6753 और 3987 (7 चरण) अधिकतम चरण: 6753 और 3987\boxed{\text{अधिकतम चरण: } \textbf{6753} \text{ और } \textbf{3987}}

    4. HH:MM घड़ी पर पैलिंड्रोमिक समय:

    a) दो पैलिंड्रोमिक समयों के बीच सबसे छोटा अंतराल:
    एक HH:MM पैलिंड्रोमिक समय वह होता है जहाँ HHMM (या HMM यदि H एक अंक का है) एक पैलिंड्रोम होता है। घंटे 1-12 तक होते हैं और मिनट 00-59 तक होते हैं।
    पैलिंड्रोमिक समयों की सूची:
    1:01, 1:11, 1:21, 1:31, 1:41, 1:51
    ...
    9:09, 9:19, 9:29, 9:39, 9:49, 9:59
    10:01, 11:11, 12:21

    सबसे छोटा अंतराल 9:59 और 10:01 के बीच है।
    10:01−9:59=210:01 - 9:59 = 2 मिनट।
    सबसे छोटा अंतराल: 2 मिनट\boxed{\text{सबसे छोटा अंतराल: } \textbf{2 मिनट}}

    b) दोपहर से आधी रात तक (HH:MM:SS) कितने पैलिंड्रोमिक समय हैं?
    एक HH:MM:SS पैलिंड्रोमिक समय वह होता है जहाँ HMMSS (यदि H एक अंक का है) या HHMMSS (यदि H दो अंकों का है) एक पैलिंड्रोम होता है। घंटे 1-12 तक होते हैं, मिनट 00-59 तक और सेकंड 00-59 तक होते हैं।
    दोपहर से आधी रात तक का मतलब 12:00:00 PM से 11:59:59 PM तक है।

    एकल-अंकीय घंटे (1-9):
    समय H:MM:SS को h1m1m2s1s2h_1m_1m_2s_1s_2 के रूप में दर्शाया जाता है। पैलिंड्रोम होने के लिए h1=s2h_1 = s_2 और m1=s1m_1 = s_1 होना चाहिए।

    • h1h_1 के लिए 9 विकल्प (1 से 9)।
    • m1m_1 के लिए 6 विकल्प (0 से 5)।
    • m2m_2 के लिए 10 विकल्प (0 से 9)।
    • s1s_1 और s2s_2 h1h_1 और m1m_1 द्वारा निर्धारित होते हैं। प्रत्येक घंटे के लिए 6×10=606 \times 10 = 60 पैलिंड्रोमिक समय। कुल एकल-अंकीय घंटे: 9×60=5409 \times 60 = 540 पैलिंड्रोमिक समय।

    दो-अंकीय घंटे (10, 11, 12):
    समय HH:MM:SS को h1h2m1m2s1s2h_1h_2m_1m_2s_1s_2 के रूप में दर्शाया जाता है। पैलिंड्रोम होने के लिए h1=s2h_1 = s_2, h2=s1h_2 = s_1 और m1=m2m_1 = m_2 होना चाहिए।

    • HH = 10: h1=1,h2=0h_1=1, h_2=0. तो s2=1,s1=0s_2=1, s_1=0 (SS = 01)। m1=m2m_1=m_2 (MM = 00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय।
    • HH = 11: h1=1,h2=1h_1=1, h_2=1. तो s2=1,s1=1s_2=1, s_1=1 (SS = 11)। m1=m2m_1=m_2 (MM = 00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय।
    • HH = 12: h1=1,h2=2h_1=1, h_2=2. तो s2=1,s1=2s_2=1, s_1=2 (SS = 21)। m1=m2m_1=m_2 (MM = 00, 11, 22, 33, 44, 55)। 6 समय। कुल दो-अंकीय घंटे: 6+6+6=186 + 6 + 6 = 18 पैलिंड्रोमिक समय।

    कुल पैलिंड्रोमिक समय (दोपहर से आधी रात तक): 540+18=558540 + 18 = 558.
    कुल पैलिंड्रोमिक समय: 558\boxed{\text{कुल पैलिंड्रोमिक समय: } \textbf{558}}

    5. कार का ओडोमीटर:

  40. वर्तमान ओडोमीटर रीडिंग 72927 है, जो एक पैलिंड्रोमिक संख्या है।

    हमें अगली तत्काल पैलिंड्रोमिक संख्या ज्ञात करनी है।
    एक 5-अंकीय पैलिंड्रोम abcbaabcba के रूप में होता है।
    वर्तमान संख्या 72927 है।
    अगली पैलिंड्रोमिक संख्या ज्ञात करने के लिए, हम मध्य अंक को बढ़ाने का प्रयास करते हैं।
    यदि हम cc को बढ़ाते हैं, तो 72(9+1)2772(9+1)27 संभव नहीं है क्योंकि cc एक अंक है।
    इसलिए, हमें bb को बढ़ाना होगा।
    b=2b=2 से b=3b=3 करें।
    तो संख्या 73c3773c37 के रूप में होगी।
    cc का सबसे छोटा मान 0 हो सकता है।
    इसलिए, अगली पैलिंड्रोमिक संख्या 73037 है।

  41. इस संख्या तक पहुँचने में कितने किलोमीटर लगेंगे, इसकी गणना करें।

    आवश्यक किलोमीटर =73037−72927=110= 73037 - 72927 = 110 किलोमीटर।
    अगली पैलिंड्रोमिक संख्या: 73037, आवश्यक किलोमीटर: 110\boxed{\text{अगली पैलिंड्रोमिक संख्या: } \textbf{73037}, \text{ आवश्यक किलोमीटर: } \textbf{110}}

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