On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2-U3 = 2 et U2 = −1 a) Exprimer U1, U2 et Us en…

Question

On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2-U3 = 2 et U2 = −1 a) Exprimer U1, U2 et Us en fonction de U1 et de la raison r. b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U).

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Voici la solution détaillée des exercices.

Exercice 1

On considère la suite arithmétique $(U_n)$ telle que $U_1 + 2U_0 - U_2 = 2$ et $U_2 = -1$ .

1) a) Exprimer $U_1$ , $U_0$ , et $U_2$ en fonction de $U_0$ et de la raison $r$ .

Utiliser la formule générale d'une suite arithmétique $U_n = U_p + (n-p)r$ .
$U_1 = U_0 + (1-0)r = U_0 + r$ $U_0 = U_0$ $U_2 = U_0 + (2-0)r = U_0 + 2r$
1) b) Calculer $r$ . En déduire le sens de variation de $(U_n)$ .
Substituer les expressions de $U_1$ , $U_0$ , $U_2$ dans l'équation $U_1 + 2U_0 - U_2 = 2$ .
$(U_0 + r) + 2U_0 - (U_0 + 2r) = 2$
Simplifier l'équation.
$U_0 + r + 2U_0 - U_0 - 2r = 2$ $2U_0 - r = 2 \quad (*)$
Utiliser la condition $U_2 = -1$ .
On sait que $U_2 = U_0 + 2r$ . Donc, $U_0 + 2r = -1 \quad (**)$ .
Résoudre le système d'équations $(*)$ et $(**)$ .
De $(*)$ , on a $r = 2U_0 - 2$ .
Substituer $r$ dans $(**)$ :
$U_0 + 2(2U_0 - 2) = -1$ $U_0 + 4U_0 - 4 = -1$ $5U_0 = 3 \implies U_0 = \frac{3}{5}$
Calculer $r$ .
$r = 2\left(\frac{3}{5}\right) - 2 = \frac{6}{5} - \frac{10}{5} = -\frac{4}{5}$
Puisque $r = -\frac{4}{5} < 0$ , la suite $(U_n)$ est décroissante.
$\boxed{r = -\frac{4}{5}}$
La suite $(U_n)$ est décroissante.

2) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ . Calculer $U_{25}$ .
Utiliser la formule générale $U_n = U_0 + nr$ avec $U_0 = \frac{3}{5}$ et $r = -\frac{4}{5}$ .
$U_n = \frac{3}{5} + n\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3 - 4n}{5}$
Calculer $U_{25}$ en substituant $n=25$ .
$U_{25} = \frac{3 - 4(25)}{5} = \frac{3 - 100}{5} = \frac{-97}{5}$ $\boxed{U_n = \frac{3 - 4n}{5}}$ $\boxed{U_{25} = -\frac{97}{5}}$
3) Calculer la somme $S = U_0 + U_1 + \dots + U_{25}$ .
Déterminer le nombre de termes et utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique.
Le nombre de termes est $25 - 0 + 1 = 26$ .
La formule de la somme est $S_k = \frac{\text{nombre de termes}}{2} (U_{\text{premier}} + U_{\text{dernier}})$ .
$S = \frac{26}{2} (U_0 + U_{25})$
Substituer les valeurs de $U_0$ et $U_{25}$ .
$S = 13 \left(\frac{3}{5} + \left(-\frac{97}{5}\right)\right) = 13 \left(\frac{3 - 97}{5}\right)$ $S = 13 \left(\frac{-94}{5}\right) = \frac{-1222}{5}$ $\boxed{S = -\frac{1222}{5}}$
4) On pose $V_n = e^{3n-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

a) Montrer que $(V_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme.
Calculer le rapport $\frac{V_{n+1}}{V_n}$ .
$V_{n+1} = e^{3(n+1)-1} = e^{3n+3-1} = e^{3n+2}$ $\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{e^{3n+2}}{e^{3n-1}}$
Simplifier le rapport.
$\frac{V_{n+1}}{V_n} = e^{(3n+2) - (3n-1)} = e^{3n+2-3n+1} = e^3$
Puisque le rapport est une constante $e^3$ , la suite $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q = e^3$ .
Déterminer le premier terme $V_0$ .
$V_0 = e^{3(0)-1} = e^{-1}$ $\boxed{q = e^3}$ $\boxed{V_0 = e^{-1}}$
b) Exprimer la somme $S_n = V_0 + V_1 + \dots + V_n$ en fonction de $n$ .
Utiliser la formule de la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique.
$S_n = V_0 \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Substituer $V_0 = e^{-1}$ et $q = e^3$ .
$S_n = e^{-1} \frac{1-(e^3)^{n+1}}{1-e^3} = e^{-1} \frac{1-e^{3(n+1)}}{1-e^3}$ $\boxed{S_n = \frac{e^{-1}(1-e^{3n+3})}{1-e^3}}$

Exercice 2

Le mot est "SCIENCES". Les lettres sont S, C, I, E, N, C, E, S.
Nombre total de tuiles = 8.
Répartition des lettres:
S: 2
C: 2
I: 1
E: 2
N: 1
Vowels (Voyelles): I, E, E (3 voyelles)
Consonants (Consonnes): S, C, N, C, S (5 consonnes)

1) La première épreuve consiste à tirer simultanément quatre plaquettes.

a) Déterminer le nombre de cas possibles.
Calculer le nombre de combinaisons de 4 tuiles parmi 8.
$\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
Le nombre de cas possibles est 70.
$\boxed{70}$
b) Calculer la probabilité d'obtenir:
A: "Aucune lettre E".
Déterminer le nombre de tuiles qui ne sont pas 'E'.
Il y a 2 'E'. Donc, $8 - 2 = 6$ tuiles ne sont pas 'E'.
Calculer le nombre de façons de choisir 4 tuiles parmi les 6 non-'E'.
$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
Calculer la probabilité $P(A)$ .
$P(A) = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ $\boxed{P(A) = \frac{3}{14}}$
B: "Au plus une consonne".
Identifier le nombre de voyelles et de consonnes.
Voyelles: 3 (I, E, E)
Consonnes: 5 (S, C, N, C, S)
"Au plus une consonne" signifie (0 consonnes et 4 voyelles) OU (1 consonne et 3 voyelles).
Calculer le nombre de façons pour chaque cas.
Cas 1: 0 consonnes et 4 voyelles. Impossible car il n'y a que 3 voyelles. $\binom{5}{0} \times \binom{3}{4} = 1 \times 0 = 0$ .
Cas 2: 1 consonne et 3 voyelles.
Nombre de façons de choisir 1 consonne parmi 5: $\binom{5}{1} = 5$ .
Nombre de façons de choisir 3 voyelles parmi 3: $\binom{3}{3} = 1$ .
Nombre de façons pour ce cas = $\binom{5}{1} \times \binom{3}{3} = 5 \times 1 = 5$ .
Calculer le nombre total de cas favorables.
Total de cas favorables = $0 + 5 = 5$ .
Calculer la probabilité $P(B)$ .
$P(B) = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}$ $\boxed{P(B) = \frac{1}{14}}$
2) La deuxième épreuve consiste à tirer une à une et sans remise trois plaquettes.
Calculer le nombre total de cas possibles (arrangements).
Le nombre total de tuiles est 8. On tire 3 tuiles sans remise, l'ordre compte.
$P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$
C: "Avoir au moins une voyelle".
Calculer la probabilité de l'événement complémentaire
"Aucune voyelle" (les 3 sont des consonnes).
Nombre de consonnes = 5.
Nombre de façons de tirer 3 consonnes une par une sans remise:
$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$
Calculer la probabilité de "Aucune voyelle".
$P(\text{Aucune voyelle}) = \frac{P(5,3)}{P(8,3)} = \frac{60}{336} = \frac{5}{28}$
Calculer la probabilité de "Au moins une voyelle".
$P(C) = 1 - P(\text{Aucune voyelle}) = 1 - \frac{5}{28} = \frac{28-5}{28} = \frac{23}{28}$ $\boxed{P(C) = \frac{23}{28}}$
D: "Avoir le mot ENS".
Cela signifie tirer E en premier, N en deuxième, et S en troisième.
Probabilité de tirer E en premier.
Il y a 2 'E' sur 8 tuiles.
$P(\text{1ère est E}) = \frac{2}{8}$
Probabilité de tirer N en deuxième (après avoir tiré un E).
Il reste 7 tuiles. Il y a 1 'N' parmi elles.
$P(\text{2ème est N | 1ère est E}) = \frac{1}{7}$
Probabilité de tirer S en troisième (après avoir tiré un E et un N).
Il reste 6 tuiles. Il y a 2 'S' parmi elles.
$P(\text{3ème est S | 1ère est E, 2ème est N}) = \frac{2}{6}$
Calculer la probabilité totale $P(D)$ .
$P(D) = \frac{2}{8} \times \frac{1}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{4}{336} = \frac{1}{84}$ $\boxed{P(D) = \frac{1}{84}}$

On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2−U3 = 2 et U2 = -1 a) Exprimer U1, U2 et Us en fonction de U1 et de la raison r. b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U).

Step-by-step solution

Utiliser la formule générale d'une suite arithmétique $U_n = U_p + (n-p)r$ .

Substituer les expressions de $U_1$ , $U_0$ , $U_2$ dans l'équation $U_1 + 2U_0 - U_2 = 2$ .

Simplifier l'équation.

Utiliser la condition $U_2 = -1$ .

Résoudre le système d'équations $(*)$ et $(**)$ .

Calculer $r$ .

Utiliser la formule générale $U_n = U_0 + nr$ avec $U_0 = \frac{3}{5}$ et $r = -\frac{4}{5}$ .

Calculer $U_{25}$ en substituant $n=25$ .

Déterminer le nombre de termes et utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique.

Substituer les valeurs de $U_0$ et $U_{25}$ .

Calculer le rapport $\frac{V_{n+1}}{V_n}$ .

Simplifier le rapport.

Déterminer le premier terme $V_0$ .

Utiliser la formule de la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique.

Substituer $V_0 = e^{-1}$ et $q = e^3$ .

Calculer le nombre de combinaisons de 4 tuiles parmi 8.

Déterminer le nombre de tuiles qui ne sont pas 'E'.

Calculer le nombre de façons de choisir 4 tuiles parmi les 6 non-'E'.

Calculer la probabilité $P(A)$ .

Identifier le nombre de voyelles et de consonnes.

Calculer le nombre de façons pour chaque cas.

Calculer le nombre total de cas favorables.

Calculer la probabilité $P(B)$ .

Calculer le nombre total de cas possibles (arrangements).

Calculer la probabilité de l'événement complémentaire

Calculer la probabilité de "Aucune voyelle".

Calculer la probabilité de "Au moins une voyelle".

Probabilité de tirer E en premier.

Probabilité de tirer N en deuxième (après avoir tiré un E).

Probabilité de tirer S en troisième (après avoir tiré un E et un N).

Calculer la probabilité totale $P(D)$ .

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