On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2-U3 = 2 et U2 = -1 a) Exprimer U1, U2 et Us en fonction de U1 et de la raison r. b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U).

Question

Asked on July 14, 2026Mathematics

This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.

Accepted Answer · 2026-07-14T16:24:26.882Z

Voici la solution détaillée des exercices. Exercice 1 On considère la suite arithmétique (U_n) telle que U_1 + 2U_0 - U_2 = 2 et U_2 = -1. 1) a) Exprimer U_1, U_0, et U_2 en fonction de U_0 et de la raison r. Step 1: Utiliser la formule générale d'une suite arithmétique U_n = U_p + (n-p)r. U_1 = U_0 + (1-0)r = U_0 + r U_0 = U_0 U_2 = U_0 + (2-0)r = U_0 + 2r 1) b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U_n). Step 1: Substituer les expressions de U_1, U_0, U_2 dans l'équation U_1 + 2U_0 - U_2 = 2. (U_0 + r) + 2U_0 - (U_0 + 2r) = 2 Step 2: Simplifier l'équation. U_0 + r + 2U_0 - U_0 - 2r = 2 2U_0 - r = 2 (*) Step 3: Utiliser la condition U_2 = -1. On sait que U_2 = U_0 + 2r. Donc, U_0 + 2r = -1 (**). Step 4: Résoudre le système d'équations () et (*). De (*), on a r = 2U_0 - 2. Substituer r dans (**): U_0 + 2(2U_0 - 2) = -1 U_0 + 4U_0 - 4 = -1 5U_0 = 3 U_0 = (3)/(5) Step 5: Calculer r. r = 2((3)/(5)) - 2 = (6)/(5) - (10)/(5) = -(4)/(5) Puisque r = -(4)/(5) < 0, la suite (U_n) est décroissante. r = -(4)/(5) La suite (U_n) est décroissante. 2) Exprimer U_n en fonction de n. Calculer U_25. Step 1: Utiliser la formule générale U_n = U_0 + nr avec U_0 = (3)/(5) et r = -(4)/(5). U_n = (3)/(5) + n(-(4)/(5)) = (3 - 4n)/(5) Step 2: Calculer U_25 en substituant n=25. U_25 = (3 - 4(25))/(5) = (3 - 100)/(5) = (-97)/(5) U_n = (3 - 4n)/(5) U_25 = -(97)/(5) 3) Calculer la somme S = U_0 + U_1 + + U_25. Step 1: Déterminer le nombre de termes et utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique. Le nombre de termes est 25 - 0 + 1 = 26. La formule de la somme est S_k = nombre de termes2 (U_premier + U_dernier). S = (26)/(2) (U_0 + U_25) Step 2: Substituer les valeurs de U_0 et U_25. S = 13 ((3)/(5) + (-(97)/(5))) = 13 ((3 - 97)/(5)) S = 13 ((-94)/(5)) = (-1222)/(5) S = -(1222)/(5) 4) On pose V_n = e^3n-1 pour tout n N. a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme. Step 1: Calculer le rapport V_n+1V_n. V_n+1 = e^3(n+1)-1 = e^3n+3-1 = e^3n+2 V_n+1V_n = e^3n+2e^3n-1 Step 2: Simplifier le rapport. V_n+1V_n = e^(3n+2) - (3n-1) = e^3n+2-3n+1 = e^3 Puisque le rapport est une constante e^3, la suite (V_n) est une suite géométrique de raison q = e^3. Step 3: Déterminer le premier terme V_0. V_0 = e^3(0)-1 = e^-1 q = e^3 V_0 = e^-1 b) Exprimer la somme S_n = V_0 + V_1 + + V_n en fonction de n. Step 1: Utiliser la formule de la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique. S_n = V_0 1-q^n+11-q Step 2: Substituer V_0 = e^-1 et q = e^3. S_n = e^-1 1-(e^3)^n+11-e^3 = e^-1 1-e^3(n+1)1-e^3 S_n = e^-1(1-e^3n+3)1-e^3 --- Exercice 2 Le mot est "SCIENCES". Les lettres sont S, C, I, E, N, C, E, S. Nombre total de tuiles = 8. Répartition des lettres: S: 2 C: 2 I: 1 E: 2 N: 1 Vowels (Voyelles): I, E, E (3 voyelles) Consonants (Consonnes): S, C, N, C, S (5 consonnes) 1) La première épreuve consiste à tirer simultanément quatre plaquettes. a) Déterminer le nombre de cas possibles. Step 1: Calculer le nombre de combinaisons de 4 tuiles parmi 8. 84 = (8!)/(4!(8-4)!) = (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1) = 70 Le nombre de cas possibles est 70. 70 b) Calculer la probabilité d'obtenir: A: "Aucune lettre E". Step 1: Déterminer le nombre de tuiles qui ne sont pas 'E'. Il y a 2 'E'. Donc, 8 - 2 = 6 tuiles ne sont pas 'E'. Step 2: Calculer le nombre de façons de choisir 4 tuiles parmi les 6 non-'E'. 64 = (6!)/(4!2!) = (6 × 5)/(2 × 1) = 15 Step 3: Calculer la probabilité P(A). P(A) = (15)/(70) = (3)/(14) P(A) = (3)/(14) B: "Au plus une consonne". Step 1: Identifier le nombre de voyelles et de consonnes. Voyelles: 3 (I, E, E) Consonnes: 5 (S, C, N, C, S) "Au plus une consonne" signifie (0 consonnes et 4 voyelles) OU (1 consonne et 3 voyelles). Step 2: Calculer le nombre de façons pour chaque cas. Cas 1: 0 consonnes et 4 voyelles. Impossible car il n'y a que 3 voyelles. 50 × 34 = 1 × 0 = 0. Cas 2: 1 consonne et 3 voyelles. Nombre de façons de choisir 1 consonne parmi 5: 51 = 5. Nombre de façons de choisir 3 voyelles parmi 3: 33 = 1. Nombre de façons pour ce cas = 51 × 33 = 5 × 1 = 5. Step 3: Calculer le nombre total de cas favorables. Total de cas favorables = 0 + 5 = 5. Step 4: Calculer la probabilité P(B). P(B) = (5)/(70) = (1)/(14) P(B) = (1)/(14) 2) La deuxième épreuve consiste à tirer une à une et sans remise trois plaquettes. Step 1: Calculer le nombre total de cas possibles (arrangements). Le nombre total de tuiles est 8. On tire 3 tuiles sans remise, l'ordre compte. P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336 C: "Avoir au moins une voyelle". Step 1: Calculer la probabilité de l'événement complémentaire: "Aucune voyelle" (les 3 sont des consonnes). Nombre de consonnes = 5. Nombre de façons de tirer 3 consonnes une par une sans remise: P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 Step 2: Calculer la probabilité de "Aucune voyelle". P(Aucune voyelle) = (P(5,3))/(P(8,3)) = (60)/(336) = (5)/(28) Step 3: Calculer la probabilité de "Au moins une voyelle". P(C) = 1 - P(Aucune voyelle) = 1 - (5)/(28) = (28-5)/(28) = (23)/(28) P(C) = (23)/(28) D: "Avoir le mot ENS". Cela signifie tirer E en premier, N en deuxième, et S en troisième. Step 1: Probabilité de tirer E en premier. Il y a 2 'E' sur 8 tuiles. P(1ère est E) = (2)/(8) Step 2: Probabilité de tirer N en deuxième (après avoir tiré un E). Il reste 7 tuiles. Il y a 1 'N' parmi elles. P(2ème est N | 1ère est E) = (1)/(7) Step 3: Probabilité de tirer S en troisième (après avoir tiré un E et un N). Il reste 6 tuiles. Il y a 2 'S' parmi elles. P(3ème est S | 1ère est E, 2ème est N) = (2)/(6) Step 4: Calculer la probabilité totale P(D). P(D) = (2)/(8) × (1)/(7) × (2)/(6) = (4)/(336) = (1)/(84) P(D) = (1)/(84) Envoie-moi la prochaine 📸

Accepted Answer · 2026-07-14T16:24:26.882Z

Voici la solution détaillée des exercices. Exercice 1 On considère la suite arithmétique (U_n) telle que U_1 + 2U_0 - U_2 = 2 et U_2 = -1. 1) a) Exprimer U_1, U_0, et U_2 en fonction de U_0 et de la raison r. Step 1: Utiliser la formule générale d'une suite arithmétique U_n = U_p + (n-p)r. U_1 = U_0 + (1-0)r = U_0 + r U_0 = U_0 U_2 = U_0 + (2-0)r = U_0 + 2r 1) b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U_n). Step 1: Substituer les expressions de U_1, U_0, U_2 dans l'équation U_1 + 2U_0 - U_2 = 2. (U_0 + r) + 2U_0 - (U_0 + 2r) = 2 Step 2: Simplifier l'équation. U_0 + r + 2U_0 - U_0 - 2r = 2 2U_0 - r = 2 (*) Step 3: Utiliser la condition U_2 = -1. On sait que U_2 = U_0 + 2r. Donc, U_0 + 2r = -1 (**). Step 4: Résoudre le système d'équations () et (*). De (*), on a r = 2U_0 - 2. Substituer r dans (**): U_0 + 2(2U_0 - 2) = -1 U_0 + 4U_0 - 4 = -1 5U_0 = 3 U_0 = (3)/(5) Step 5: Calculer r. r = 2((3)/(5)) - 2 = (6)/(5) - (10)/(5) = -(4)/(5) Puisque r = -(4)/(5) < 0, la suite (U_n) est décroissante. r = -(4)/(5) La suite (U_n) est décroissante. 2) Exprimer U_n en fonction de n. Calculer U_25. Step 1: Utiliser la formule générale U_n = U_0 + nr avec U_0 = (3)/(5) et r = -(4)/(5). U_n = (3)/(5) + n(-(4)/(5)) = (3 - 4n)/(5) Step 2: Calculer U_25 en substituant n=25. U_25 = (3 - 4(25))/(5) = (3 - 100)/(5) = (-97)/(5) U_n = (3 - 4n)/(5) U_25 = -(97)/(5) 3) Calculer la somme S = U_0 + U_1 + + U_25. Step 1: Déterminer le nombre de termes et utiliser la formule de la somme d'une suite arithmétique. Le nombre de termes est 25 - 0 + 1 = 26. La formule de la somme est S_k = nombre de termes2 (U_premier + U_dernier). S = (26)/(2) (U_0 + U_25) Step 2: Substituer les valeurs de U_0 et U_25. S = 13 ((3)/(5) + (-(97)/(5))) = 13 ((3 - 97)/(5)) S = 13 ((-94)/(5)) = (-1222)/(5) S = -(1222)/(5) 4) On pose V_n = e^3n-1 pour tout n N. a) Montrer que (V_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison et son premier terme. Step 1: Calculer le rapport V_n+1V_n. V_n+1 = e^3(n+1)-1 = e^3n+3-1 = e^3n+2 V_n+1V_n = e^3n+2e^3n-1 Step 2: Simplifier le rapport. V_n+1V_n = e^(3n+2) - (3n-1) = e^3n+2-3n+1 = e^3 Puisque le rapport est une constante e^3, la suite (V_n) est une suite géométrique de raison q = e^3. Step 3: Déterminer le premier terme V_0. V_0 = e^3(0)-1 = e^-1 q = e^3 V_0 = e^-1 b) Exprimer la somme S_n = V_0 + V_1 + + V_n en fonction de n. Step 1: Utiliser la formule de la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique. S_n = V_0 1-q^n+11-q Step 2: Substituer V_0 = e^-1 et q = e^3. S_n = e^-1 1-(e^3)^n+11-e^3 = e^-1 1-e^3(n+1)1-e^3 S_n = e^-1(1-e^3n+3)1-e^3 --- Exercice 2 Le mot est "SCIENCES". Les lettres sont S, C, I, E, N, C, E, S. Nombre total de tuiles = 8. Répartition des lettres: S: 2 C: 2 I: 1 E: 2 N: 1 Vowels (Voyelles): I, E, E (3 voyelles) Consonants (Consonnes): S, C, N, C, S (5 consonnes) 1) La première épreuve consiste à tirer simultanément quatre plaquettes. a) Déterminer le nombre de cas possibles. Step 1: Calculer le nombre de combinaisons de 4 tuiles parmi 8. 84 = (8!)/(4!(8-4)!) = (8 × 7 × 6 × 5)/(4 × 3 × 2 × 1) = 70 Le nombre de cas possibles est 70. 70 b) Calculer la probabilité d'obtenir: A: "Aucune lettre E". Step 1: Déterminer le nombre de tuiles qui ne sont pas 'E'. Il y a 2 'E'. Donc, 8 - 2 = 6 tuiles ne sont pas 'E'. Step 2: Calculer le nombre de façons de choisir 4 tuiles parmi les 6 non-'E'. 64 = (6!)/(4!2!) = (6 × 5)/(2 × 1) = 15 Step 3: Calculer la probabilité P(A). P(A) = (15)/(70) = (3)/(14) P(A) = (3)/(14) B: "Au plus une consonne". Step 1: Identifier le nombre de voyelles et de consonnes. Voyelles: 3 (I, E, E) Consonnes: 5 (S, C, N, C, S) "Au plus une consonne" signifie (0 consonnes et 4 voyelles) OU (1 consonne et 3 voyelles). Step 2: Calculer le nombre de façons pour chaque cas. Cas 1: 0 consonnes et 4 voyelles. Impossible car il n'y a que 3 voyelles. 50 × 34 = 1 × 0 = 0. Cas 2: 1 consonne et 3 voyelles. Nombre de façons de choisir 1 consonne parmi 5: 51 = 5. Nombre de façons de choisir 3 voyelles parmi 3: 33 = 1. Nombre de façons pour ce cas = 51 × 33 = 5 × 1 = 5. Step 3: Calculer le nombre total de cas favorables. Total de cas favorables = 0 + 5 = 5. Step 4: Calculer la probabilité P(B). P(B) = (5)/(70) = (1)/(14) P(B) = (1)/(14) 2) La deuxième épreuve consiste à tirer une à une et sans remise trois plaquettes. Step 1: Calculer le nombre total de cas possibles (arrangements). Le nombre total de tuiles est 8. On tire 3 tuiles sans remise, l'ordre compte. P(8,3) = 8 × 7 × 6 = 336 C: "Avoir au moins une voyelle". Step 1: Calculer la probabilité de l'événement complémentaire: "Aucune voyelle" (les 3 sont des consonnes). Nombre de consonnes = 5. Nombre de façons de tirer 3 consonnes une par une sans remise: P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60 Step 2: Calculer la probabilité de "Aucune voyelle". P(Aucune voyelle) = (P(5,3))/(P(8,3)) = (60)/(336) = (5)/(28) Step 3: Calculer la probabilité de "Au moins une voyelle". P(C) = 1 - P(Aucune voyelle) = 1 - (5)/(28) = (28-5)/(28) = (23)/(28) P(C) = (23)/(28) D: "Avoir le mot ENS". Cela signifie tirer E en premier, N en deuxième, et S en troisième. Step 1: Probabilité de tirer E en premier. Il y a 2 'E' sur 8 tuiles. P(1ère est E) = (2)/(8) Step 2: Probabilité de tirer N en deuxième (après avoir tiré un E). Il reste 7 tuiles. Il y a 1 'N' parmi elles. P(2ème est N | 1ère est E) = (1)/(7) Step 3: Probabilité de tirer S en troisième (après avoir tiré un E et un N). Il reste 6 tuiles. Il y a 2 'S' parmi elles. P(3ème est S | 1ère est E, 2ème est N) = (2)/(6) Step 4: Calculer la probabilité totale P(D). P(D) = (2)/(8) × (1)/(7) × (2)/(6) = (4)/(336) = (1)/(84) P(D) = (1)/(84) Envoie-moi la prochaine 📸

On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2-U3 = 2 et U2 = -1 a) Exprimer U1, U2 et Us en fonction de U1 et de la raison r. b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U).

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions

On considère la suite arithmétique (U) telle que : U1+2U2-U3 = 2 et U2 = -1 a) Exprimer U1, U2 et Us en fonction de U1 et de la raison r. b) Calculer r. En déduire le sens de variation de (U).

Need help with your own homework?

More Mathematics Questions