Partie C Cette partie est constituée de 2 séries de raisonnement à présentation personnelle sur 10 pts (+2 pts) Démontrez avec rigueur la consonance de e et n Démontrez avec rigueur l'existence de p nombre premier Démontrez V2 un nombre irrationnel On donne: e = 2,71828 et n! = n(n-1)!

Le nombre $e$ est défini de manière rigoureuse par la somme de la série infinie suivante :

$$e = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$$

Cette série peut être développée comme :

$$e = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots$$

Chaque terme de cette somme est l'inverse d'une factorielle d'un entier non négatif $k$. La fonction factorielle, $k!$, est définie pour les entiers non négatifs $k$ (où $n$ est un exemple d'un tel entier) comme le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à $k$. Par exemple, $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$ pour $n \ge 1$, et $0! = 1$. Ainsi, la valeur de $e$ est intrinsèquement construite à partir d'une somme infinie impliquant les factorielles d'entiers, ce qui démontre une connexion directe et rigoureuse (consonance) entre $e$ et le concept de $n!$.