Pour chacune des questions dans le tableau ci-dessous, trois réponses A, B et C sont proposées dont une seule est correcte. Pour répondre, tu porteras sur ta copie, le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

Voici les solutions détaillées pour chaque question :

Question 1:

a) On a un triangle rectangle SUR en R.

b) On sait que $\sin(\text{RUS}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \frac{\text{SR}}{\text{SU}}$.

c) On nous donne $\sin(\text{RUS}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ et $\text{SR} = 3$ cm.

d) On peut écrire l'équation :

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{\text{SU}}$$

e) Pour trouver SU, on isole la variable :

$$\text{SU} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$$

f) On rationalise le dénominateur :

$$\text{SU} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ cm}$$

La bonne réponse est C.

$$\boxed{\text{C}}$$

Question 2:

a) On doit résoudre l'inéquation $(3 - 2x)(1 - x) < 0$.

b) On trouve les racines de chaque facteur : * $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ * $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$

c) On construit un tableau de signes :

$$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & \frac{3}{2} & & +\infty \\ \hline 3 - 2x & + & & + & & 0 & - \\ 1 - x & + & 0 & - & & - \\ \hline (3 - 2x)(1 - x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$

d) L'inéquation $(3 - 2x)(1 - x) < 0$ est vérifiée lorsque le produit est négatif.

e) L'ensemble des solutions est $]1 ; \frac{3}{2}[$.
La bonne réponse est C.

$$\boxed{\text{C}}$$

Question 3:

a) Soit le point $A(3, -2)$ et le vecteur de translation $\vec{u}(-1, 2)$.

b) L'image $A'(x', y')$ d'un point $A(x, y)$ par une translation de vecteur $\vec{u}(a, b)$ est donnée par $x' = x + a$ et $y' = y + b$.

c) On calcule les coordonnées de $A'$ :

$$x' = 3 + (-1) = 2$$ $$y' = -2 + 2 = 0$$

d) Les coordonnées de $A'$ sont $(2, 0)$.
La bonne réponse est A.

$$\boxed{\text{A}}$$

Question 4:

a) Une application affine $g$ a pour forme $g(x) = ax + b$.

b) On utilise les informations données pour former un système d'équations : * $g(3) = 3 \Rightarrow 3a + b = 3$ (1) * $g(1) = -1 \Rightarrow a + b = -1$ (2)

c) On soustrait l'équation (2) de l'équation (1) :

$$(3a + b) - (a + b) = 3 - (-1)$$ $$2a = 4$$ $$a = 2$$

d) On substitue $a = 2$ dans l'équation (2) :

$$2 + b = -1$$ $$b = -1 - 2$$ $$b = -3$$

e) L'expression littérale de $g(x)$ est $2x - 3$.
La bonne réponse est B.

$$\boxed{\text{B}}$$

Question 5:

a) On a le système d'équations :

$$\begin{cases} 5x - 2y = 7 \quad (1) \\ -3x + 4y = 7 \quad (2) \end{cases}$$

b) On multiplie l'équation (1) par 2 pour éliminer $y$ :

$$2 \times (5x - 2y) = 2 \times 7 \Rightarrow 10x - 4y = 14 \quad (3)$$

c) On additionne l'équation (3) et l'équation (2) :

$$(10x - 4y) + (-3x + 4y) = 14 + 7$$ $$7x = 21$$ $$x = 3$$

d) On substitue $x = 3$ dans l'équation (1) :

$$5(3) - 2y = 7$$ $$15 - 2y = 7$$ $$-2y = 7 - 15$$ $$-2y = -8$$ $$y = 4$$

e) Le couple solution est $(3, 4)$.
La bonne réponse est A.

$$\boxed{\text{A}}$$

Question 6:

a) On nous dit que les droites (HK) et (AF) sont parallèles.

b) D'après le théorème de Thalès (configuration en "papillon" ou "sablier"), on a la relation suivante :

$$\frac{\text{LK}}{\text{LF}} = \frac{\text{HK}}{\text{AF}}$$

c) On connaît les longueurs : LK = 6, HK = 4, AF = 5, et KF = $x$.

d) On exprime LF en fonction de $x$ : LF = LK + KF = $6 + x$.

e) On substitue les valeurs dans la relation de Thalès :

$$\frac{6}{6 + x} = \frac{4}{5}$$

f) On résout l'équation par produit en croix :

$$6 \times 5 = 4 \times (6 + x)$$ $$30 = 24 + 4x$$ $$30 - 24 = 4x$$ $$6 = 4x$$ $$x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

La bonne réponse est C.

$$\boxed{\text{C}}$$

Question 7:

a) On doit simplifier l'expression $M = |3\sqrt{2} - 5| + 3\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} - 8 - \sqrt{12}$.

b) On simplifie chaque terme : * Pour $|3\sqrt{2} - 5|$ : On compare $3\sqrt{2}$ et 5. $(3\sqrt{2})^2 = 18$ et $5^2 = 25$. Puisque $18 < 25$, $3\sqrt{2} < 5$. Donc $3\sqrt{2} - 5$ est négatif. $|3\sqrt{2} - 5| = -(3\sqrt{2} - 5) = 5 - 3\sqrt{2}$ * Pour $3\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2}$ : On utilise la propriété $\sqrt{a^2} = |a|$. $3\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = 3|1 - \sqrt{2}|$ On compare 1 et $\sqrt{2}$. $1^2 = 1$ et $(\sqrt{2})^2 = 2$. Puisque $1 < 2$, $1 < \sqrt{2}$. Donc $1 - \sqrt{2}$ est négatif. $3|1 - \sqrt{2}| = 3(-(1 - \sqrt{2})) = 3(\sqrt{2} - 1) = 3\sqrt{2} - 3$ * Pour $\sqrt{12}$ : $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ c) On substitue ces expressions dans $M$ :

$$M = (5 - 3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2} - 3) - 8 - 2\sqrt{3}$$

d) On regroupe les termes similaires :

$$M = 5 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3 - 8 - 2\sqrt{3}$$ $$M = (5 - 3 - 8) + (-3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) - 2\sqrt{3}$$ $$M = (2 - 8) + 0 - 2\sqrt{3}$$ $$M = -6 - 2\sqrt{3}$$

La bonne réponse est B.

$$\boxed{\text{B}}$$

Question 8:

a) On nous donne $x$ comme la mesure d'un angle au centre et $y$ comme la mesure d'un angle inscrit.

b) Ces deux angles interceptent le même arc.

c) D'après le théorème de l'angle au centre et de l'angle inscrit, la mesure de l'angle au centre est le double de la mesure de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.

d) Donc, la relation est $x = 2y$.

e) Cette relation peut être réécrite comme $\frac{x}{y} = 2$.
La bonne réponse est A.

$$\boxed{\text{A}}$$