This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution du problème. Partie I 1. Calcul de la génératrice G du cône. La génératrice G, la hauteur H et le rayon R forment un triangle rectangle. On utilise le théorème de Pythagore. G = sqrt(H^2 + R^2) G = sqrt(12^2 + (3,5)^2) G = sqrt(144 + 12,25) G = sqrt(156,25) G = 12,5 dm La génératrice du cône mesure bien 12,5 dm. 2. Calcul de l'aire latérale A_L du cône. La formule de l'aire latérale d'un cône est A_L = R G. A_L = 3,14 × 3,5 × 12,5 A_L = 137,375 dm^2 En arrondissant à 10^-2 près par excès : A_L = 137,38 dm^2 3. Calcul du volume V du cône. La formule du volume d'un cône est V = (1)/(3) R^2 H. V = (1)/(3) × 3,14 × (3,5)^2 × 12 V = (1)/(3) × 3,14 × 12,25 × 12 V = 3,14 × 12,25 × 4 V = 153,86 dm^3 V = 153,86 dm^3 4. Détermination de la hauteur du tronc de cône. Soit H_G la hauteur du grand cône et H_P la hauteur du petit cône (réduction du grand cône). Le coefficient de réduction est k = (2)/(3). La hauteur du petit cône est H_P = k H_G. H_P = (2)/(3) × 12 dm H_P = 8 dm La hauteur du tronc de cône H_tronc est la différence entre la hauteur du grand cône et celle du petit cône. H_tronc = H_G - H_P H_tronc = 12 dm - 8 dm H_tronc = 4 dm H_tronc = 4 dm Partie II 1. Calcul de la masse de béton armé nécessaire pour fabriquer les 100 bornes. Le volume d'une borne est le volume du tronc de cône, qui est la différence entre le volume du grand cône (V_G) et le volume du petit cône (V_P). On sait que V_P = k^3 V_G. V_borne = V_G - V_P = V_G - k^3 V_G = V_G (1 - k^3) V_borne = 153,86 (1 - ((2)/(3))^3) V_borne = 153,86 (1 - (8)/(27)) V_borne = 153,86 ((19)/(27)) dm^3 Convertissons ce volume en m^3 (1 dm^3 = 10^-3 m^3). V_borne = 153,86 × (19)/(27) × 10^-3 m^3 La masse volumique du béton est = 3000 kg/m^3. La masse d'une borne m_borne est × V_borne. m_borne = 3000 × 153,86 × (19)/(27) × 10^-3 kg m_borne = 3 × 153,86 × (19)/(27) kg m_borne = 153,86 × (19)/(9) kg m_borne = (2923,34)/(9) kg La masse totale pour 100 bornes M_total est 100 × m_borne. M_total = 100 × (2923,34)/(9) kg M_total = (292334)/(9) kg M_total ≈ 32481,555... kg En arrondissant à l'unité près par excès : M_total = 32482 kg 2. Calcul de la dépense en peinture. La surface latérale d'une borne est l'aire latérale du tronc de cône, qui est la différence entre l'aire latérale du grand cône (A_L,G) et l'aire latérale du petit cône (A_L,P). On sait que A_L,P = k^2 A_L,G. A_L,borne = A_L,G - A_L,P = A_L,G - k^2 A_L,G = A_L,G (1 - k^2) A_L,borne = 137,375 (1 - ((2)/(3))^2) A_L,borne = 137,375 (1 - (4)/(9)) A_L,borne = 137,375 ((5)/(9)) dm^2 A_L,borne = (686,875)/(9) dm^2 Convertissons cette surface en m^2 (1 dm^2 = 10^-2 m^2). A_L,borne = (686,875)/(9) × 10^-2 m^2 La surface totale à peindre pour 100 bornes S_total est 100 × A_L,borne. S_total = 100 × (686,875)/(9) × 10^-2 m^2 S_total = (686,875)/(9) m^2 S_total ≈ 76,31944... m^2 Le pot de peinture couvre 1 m^2 et coûte 5000 F. La dépense totale D est S_total × 5000 F/m^2. D = (686,875)/(9) × 5000 F D = (3434375)/(9) F D ≈ 381597,22 F En arrondissant à l'unité la plus proche : D = 381597 F Envoie-moi la prochaine 📸