Le service de comptabilité d'une entreprise dispose des chiffres d'affaires de ses 50 points de vente pour le mois de décembre 2024.

Voici la résolution du problème.

Partie I

1. Calcul de la génératrice $G$ du cône. La génératrice $G$, la hauteur $H$ et le rayon $R$ forment un triangle rectangle. On utilise le théorème de Pythagore.

   $$G = \sqrt{H^2 + R^2}$$ $$G = \sqrt{12^2 + (3,5)^2}$$ $$G = \sqrt{144 + 12,25}$$ $$G = \sqrt{156,25}$$ $$G = 12,5 \text{ dm}$$

   La génératrice du cône mesure bien $12,5 \text{ dm}$.

2. Calcul de l'aire latérale $A_L$ du cône. La formule de l'aire latérale d'un cône est $A_L = \pi R G$.

   $$A_L = 3,14 \times 3,5 \times 12,5$$ $$A_L = 137,375 \text{ dm}^2$$

   En arrondissant à $10^{-2}$ près par excès :

   $$\boxed{A_L = 137,38 \text{ dm}^2}$$

3. Calcul du volume $V$ du cône. La formule du volume d'un cône est $V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$.

   $$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times (3,5)^2 \times 12$$ $$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 12,25 \times 12$$ $$V = 3,14 \times 12,25 \times 4$$ $$V = 153,86 \text{ dm}^3$$ $$\boxed{V = 153,86 \text{ dm}^3}$$

4. Détermination de la hauteur du tronc de cône. Soit $H_G$ la hauteur du grand cône et $H_P$ la hauteur du petit cône (réduction du grand cône). Le coefficient de réduction est $k = \frac{2}{3}$. La hauteur du petit cône est $H_P = k H_G$.

   $$H_P = \frac{2}{3} \times 12 \text{ dm}$$ $$H_P = 8 \text{ dm}$$

   La hauteur du tronc de cône $H_{tronc}$ est la différence entre la hauteur du grand cône et celle du petit cône.

   $$H_{tronc} = H_G - H_P$$ $$H_{tronc} = 12 \text{ dm} - 8 \text{ dm}$$ $$H_{tronc} = 4 \text{ dm}$$ $$\boxed{H_{tronc} = 4 \text{ dm}}$$

Partie II

1. Calcul de la masse de béton armé nécessaire pour fabriquer les 100 bornes. Le volume d'une borne est le volume du tronc de cône, qui est la différence entre le volume du grand cône ($V_G$) et le volume du petit cône ($V_P$). On sait que $V_P = k^3 V_G$.

   $$V_{borne} = V_G - V_P = V_G - k^3 V_G = V_G (1 - k^3)$$ $$V_{borne} = 153,86 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^3\right)$$ $$V_{borne} = 153,86 \left(1 - \frac{8}{27}\right)$$ $$V_{borne} = 153,86 \left(\frac{19}{27}\right) \text{ dm}^3$$

   Convertissons ce volume en $\text{m}^3$ ($1 \text{ dm}^3 = 10^{-3} \text{ m}^3$).

   $$V_{borne} = 153,86 \times \frac{19}{27} \times 10^{-3} \text{ m}^3$$

   La masse volumique du béton est $\rho = 3000 \text{ kg/m}^3$. La masse d'une borne $m_{borne}$ est $\rho \times V_{borne}$.

   $$m_{borne} = 3000 \times 153,86 \times \frac{19}{27} \times 10^{-3} \text{ kg}$$ $$m_{borne} = 3 \times 153,86 \times \frac{19}{27} \text{ kg}$$ $$m_{borne} = 153,86 \times \frac{19}{9} \text{ kg}$$ $$m_{borne} = \frac{2923,34}{9} \text{ kg}$$

   La masse totale pour 100 bornes $M_{total}$ est $100 \times m_{borne}$.

   $$M_{total} = 100 \times \frac{2923,34}{9} \text{ kg}$$ $$M_{total} = \frac{292334}{9} \text{ kg}$$ $$M_{total} \approx 32481,555... \text{ kg}$$

   En arrondissant à l'unité près par excès :

   $$\boxed{M_{total} = 32482 \text{ kg}}$$

2. Calcul de la dépense en peinture. La surface latérale d'une borne est l'aire latérale du tronc de cône, qui est la différence entre l'aire latérale du grand cône ($A_{L,G}$) et l'aire latérale du petit cône ($A_{L,P}$). On sait que $A_{L,P} = k^2 A_{L,G}$.

   $$A_{L,borne} = A_{L,G} - A_{L,P} = A_{L,G} - k^2 A_{L,G} = A_{L,G} (1 - k^2)$$ $$A_{L,borne} = 137,375 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right)$$ $$A_{L,borne} = 137,375 \left(1 - \frac{4}{9}\right)$$ $$A_{L,borne} = 137,375 \left(\frac{5}{9}\right) \text{ dm}^2$$ $$A_{L,borne} = \frac{686,875}{9} \text{ dm}^2$$

   Convertissons cette surface en $\text{m}^2$ ($1 \text{ dm}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$).

   $$A_{L,borne} = \frac{686,875}{9} \times 10^{-2} \text{ m}^2$$

   La surface totale à peindre pour 100 bornes $S_{total}$ est $100 \times A_{L,borne}$.

   $$S_{total} = 100 \times \frac{686,875}{9} \times 10^{-2} \text{ m}^2$$ $$S_{total} = \frac{686,875}{9} \text{ m}^2$$ $$S_{total} \approx 76,31944... \text{ m}^2$$

   Le pot de peinture couvre $1 \text{ m}^2$ et coûte $5000 \text{ F}$. La dépense totale $D$ est $S_{total} \times 5000 \text{ F/m}^2$.

   $$D = \frac{686,875}{9} \times 5000 \text{ F}$$ $$D = \frac{3434375}{9} \text{ F}$$ $$D \approx 381597,22 \text{ F}$$

   En arrondissant à l'unité la plus proche :

   $$\boxed{D = 381597 \text{ F}}$$