Exercice 2: 6 points. Le service de comptabilité d'une entreprise dispose des chiffres d'affaires de ses 50 points de vente pour le mois de décembre 2024. Problème: 8 points

Voici la résolution détaillée des exercices.

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Exercice 1 : Statistique (6 points)

1. Regrouper ces données brutes par classes d'amplitude 500. Dresser un tableau statistique comportant les classes, les effectifs, les fréquences et les fréquences cumulées décroissantes.

• Step 1 : Déterminer les classes. La première classe est $[8000 ; 8500[$. L'amplitude est de 500. Les valeurs minimales et maximales des données sont 8247 et 10652. Les classes sont donc : $[8000 ; 8500[$ $[8500 ; 9000[$ $[9000 ; 9500[$ $[9500 ; 10000[$ $[10000 ; 10500[$ $[10500 ; 11000[$

• Step 2 : Calculer les effectifs ($n_i$) pour chaque classe. En comptant les données dans chaque intervalle : $[8000 ; 8500[$ : 8247 (1 donnée) $[8500 ; 9000[$ : $8553, 8724, 8829, 8859$ (4 données) $[9000 ; 9500[$ : $9016, 9070, 9107, 9118, 9130, 9169, 9186, 9219, 9286, 9345, 9370, 9388, 9393, 9417, 9460$ (15 données) $[9500 ; 10000[$ : $9500, 9502, 9551, 9595, 9627, 9675, 9688, 9729, 9771, 9825, 9845, 9851, 9852, 9877, 9878, 9890, 9897, 9936, 9947, 9994$ (20 données) $[10000 ; 10500[$ : $10024, 10140, 10179, 10188, 10237, 10266, 10303, 10310$ (8 données) $[10500 ; 11000[$ : $10510, 10652$ (2 données) Le total des effectifs est $1 + 4 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50$, ce qui correspond au nombre total de points de vente.

• Step 3 : Calculer les fréquences ($f_i$). $f_i = \frac{n_i}{N}$ où $N = 50$. $f_1 = \frac{1}{50} = 0,02$ $f_2 = \frac{4}{50} = 0,08$ $f_3 = \frac{15}{50} = 0,30$ $f_4 = \frac{20}{50} = 0,40$ $f_5 = \frac{8}{50} = 0,16$ $f_6 = \frac{2}{50} = 0,04$ La somme des fréquences est $0,02 + 0,08 + 0,30 + 0,40 + 0,16 + 0,04 = 1,00$.

• Step 4 : Calculer les fréquences cumulées décroissantes ($F_i$). $F_1 = 1,00$ $F_2 = 1,00 - 0,02 = 0,98$ $F_3 = 0,98 - 0,08 = 0,90$ $F_4 = 0,90 - 0,30 = 0,60$ $F_5 = 0,60 - 0,40 = 0,20$ $F_6 = 0,20 - 0,16 = 0,04$

• Step 5 : Dresser le tableau statistique.

Classes (CA en millions de F)	Effectifs ($n_i$)	Fréquences ($f_i$)	Fréquences cumulées décroissantes ($F_i$)
$[8000 ; 8500[$	1	0,02	1,00
$[8500 ; 9000[$	4	0,08	0,98
$[9000 ; 9500[$	15	0,30	0,90
$[9500 ; 10000[$	20	0,40	0,60
$[10000 ; 10500[$	8	0,16	0,20
$[10500 ; 11000[$	2	0,04	0,04
Total	50	1,00

2. Calculer le chiffre d'affaires moyen.

• Step 1 : Calculer le centre de chaque classe ($c_i$). $c_1 = \frac{8000 + 8500}{2} = 8250$ $c_2 = \frac{8500 + 9000}{2} = 8750$ $c_3 = \frac{9000 + 9500}{2} = 9250$ $c_4 = \frac{9500 + 10000}{2} = 9750$ $c_5 = \frac{10000 + 10500}{2} = 10250$ $c_6 = \frac{10500 + 11000}{2} = 10750$

• Step 2 : Appliquer la formule de la moyenne $\bar{x}$.

  $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i c_i}{N}$$ $$\bar{x} = \frac{(1 \times 8250) + (4 \times 8750) + (15 \times 9250) + (20 \times 9750) + (8 \times 10250) + (2 \times 10750)}{50}$$ $$\bar{x} = \frac{8250 + 35000 + 138750 + 195000 + 82000 + 21500}{50}$$ $$\bar{x} = \frac{480500}{50}$$ $$\bar{x} = \boxed{9610 \text{ millions de F}}$$

3. Quel est le pourcentage de points de vente ayant réalisé un chiffre d'affaires CA tel que $9000 \le CA < 10500$ ?

• Step 1 : Identifier les classes concernées. Les classes qui satisfont la condition $9000 \le CA < 10500$ sont : $[9000 ; 9500[$ (effectif = 15) $[9500 ; 10000[$ (effectif = 20) $[10000 ; 10500[$ (effectif = 8)

• Step 2 : Calculer l'effectif total de ces classes. Effectif total = $15 + 20 + 8 = 43$.

• Step 3 : Calculer le pourcentage.

  $$\text{Pourcentage} = \frac{43}{50} \times 100$$ $$\text{Pourcentage} = 0,86 \times 100$$ $$\text{Pourcentage} = \boxed{86\%}$$

4. En utilisant le théorème de Thalès, calcule $m_e$ la médiane de cette série.

• Step 1 : Déterminer le rang de la médiane et la classe médiane. L'effectif total est $N = 50$. Le rang de la médiane est $\frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25$. Calculons les effectifs cumulés croissants : $[8000 ; 8500[$ : $N_1 = 1$ $[8500 ; 9000[$ : $N_2 = 1 + 4 = 5$ $[9000 ; 9500[$ : $N_3 = 5 + 15 = 20$ $[9500 ; 10000[$ : $N_4 = 20 + 20 = 40$ Le 25ème point de vente se trouve dans la classe $[9500 ; 10000[$, car $N_3 < 25 \le N_4$. La classe médiane est $[9500 ; 10000[$. Borne inférieure de la classe médiane ($L_m$) = 9500. Effectif de la classe médiane ($n_m$) = 20. Effectif cumulé de la classe précédant la classe médiane ($N_{m-1}$) = 20. Amplitude de la classe médiane ($a_m$) = 500.

• Step 2 : Appliquer la formule d'interpolation linéaire (Thalès) pour la médiane.

  $$m_e = L_m + a_m \times \frac{\frac{N}{2} - N_{m-1}}{n_m}$$ $$m_e = 9500 + 500 \times \frac{25 - 20}{20}$$ $$m_e = 9500 + 500 \times \frac{5}{20}$$ $$m_e = 9500 + 500 \times \frac{1}{4}$$ $$m_e = 9500 + 125$$ $$m_e = \boxed{9625 \text{ millions de F}}$$

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Problème : Géométrie (8 points)

L'unité de longueur est le décimètre (dm).
Cône de révolution : hauteur $h = 12$ dm, rayon de base $R = 3,5$ dm.
On prend $\pi \approx 3,14$. Résultats à $10^{-2}$ près par excès.

Partie I

1. Montre que la génératrice du cône mesure 12,5.

• Step 1 : Appliquer le théorème de Pythagore. Dans un cône de révolution, la génératrice $g$, la hauteur $h$ et le rayon de base $R$ forment un triangle rectangle. $$g^2 = R^2 + h^2$$
• Step 2 : Substituer les valeurs et calculer $g$. $$g^2 = (3,5)^2 + (12)^2$$ $$g^2 = 12,25 + 144$$ $$g^2 = 156,25$$ $$g = \sqrt{156,25}$$ $$g = \boxed{12,5 \text{ dm}}$$

2. Calcule l'aire latérale $A_L$ du cône.

• Step 1 : Appliquer la formule de l'aire latérale d'un cône. $$A_L = \pi R g$$
• Step 2 : Substituer les valeurs et calculer $A_L$. $$A_L = 3,14 \times 3,5 \times 12,5$$ $$A_L = 137,375$$
• Step 3 : Arrondir à $10^{-2}$ près par excès. $$A_L \approx \boxed{137,38 \text{ dm}^2}$$

3. Calcule le volume $V$ du cône.

• Step 1 : Appliquer la formule du volume d'un cône. $$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$$
• Step 2 : Substituer les valeurs et calculer $V$. $$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times (3,5)^2 \times 12$$ $$V = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 12,25 \times 12$$ $$V = 3,14 \times 12,25 \times 4$$ $$V = 153,86$$
• Step 3 : Arrondir à $10^{-2}$ près par excès. $$V \approx \boxed{153,86 \text{ dm}^3}$$

4. On effectue une section de ce cône par un plan parallèle à sa base pour obtenir un tronc de cône. Sachant que le coefficient de réduction $k$ est égal à $\frac{2}{5}$, détermine la hauteur de ce tronc de cône.

• Step 1 : Calculer la hauteur du petit cône ($h'$). Le coefficient de réduction $k = \frac{2}{5}$ est le rapport entre la hauteur du petit cône (formé par la section) et la hauteur du grand cône. $$h' = k \times h$$ $$h' = \frac{2}{5} \times 12$$ $$h' = \frac{24}{5}$$ $$h' = 4,8 \text{ dm}$$
• Step 2 : Calculer la hauteur du tronc de cône ($h_{tronc}$). La hauteur du tronc de cône est la différence entre la hauteur du grand cône et la hauteur du petit cône. $$h_{tronc} = h - h'$$ $$h_{tronc} = 12 - 4,8$$ $$h_{tronc} = \boxed{7,2 \text{ dm}}$$

Partie II

Une borne a la même forme et les mêmes dimensions que le tronc de cône précédent.

1. Sachant que les bornes sont fabriquées en béton armé de masse volumique $3000 \text{ kg/m}^3$, calcule en kilogrammes la masse de béton armé nécessaire pour fabriquer les 100 bornes. (On donnera le résultat à l'unité près par excès).

• Step 1 : Calculer le rayon de base du petit cône ($R'$). $$R' = k \times R$$ $$R' = \frac{2}{5} \times 3,5$$ $$R' = 1,4 \text{ dm}$$
• Step 2 : Calculer le volume du petit cône ($V'$). $$V' = \frac{1}{3} \pi (R')^2 h'$$ $$V' = \frac{1}{3} \times 3,14 \times (1,4)^2 \times 4,8$$ $$V' = \frac{1}{3} \times 3,14 \times 1,96 \times 4,8$$ $$V' = 3,14 \times 1,96 \times 1,6$$ $$V' = 9,84704$$ Arrondi à $10^{-2}$ près par excès : $V' \approx 9,85 \text{ dm}^3$.
• Step 3 : Calculer le volume d'une borne ($V_{borne}$). Le volume d'une borne (tronc de cône) est la différence entre le volume du grand cône et le volume du petit cône. $$V_{borne} = V - V'$$ $$V_{borne} = 153,86 - 9,85$$ $$V_{borne} = 144,01 \text{ dm}^3$$
• Step 4 : Convertir le volume d'une borne en mètres cubes. $1 \text{ dm}^3 = 0,001 \text{ m}^3$. $$V_{borne} = 144,01 \times 0,001 \text{ m}^3$$ $$V_{borne} = 0,14401 \text{ m}^3$$
• Step 5 : Calculer le volume total pour 100 bornes ($V_{total}$). $$V_{total} = 100 \times V_{borne}$$ $$V_{total} = 100 \times 0,14401 \text{ m}^3$$ $$V_{total} = 14,401 \text{ m}^3$$
• Step 6 : Calculer la masse totale de béton. Masse volumique $\rho = 3000 \text{ kg/m}^3$. Masse $m = \rho \times V_{total}$ $$m = 3000 \text{ kg/m}^3 \times 14,401 \text{ m}^3$$ $$m = 43203 \text{ kg}$$ Arrondi à l'unité près par excès : $$m = \boxed{43203 \text{ kg}}$$

2. La commune souhaiterait aussi recouvrir la surface latérale de chacune de ces bornes par une couche de peinture. Sachant que le pot de peinture couvre une surface d'aire $1 \text{ m}^2$ et coûte $5000 \text{ F}$, calcule la dépense en peinture.

• Step 1 : Calculer la génératrice du petit cône ($g'$). $$g' = k \times g$$ $$g' = \frac{2}{5} \times 12,5$$ $$g' = 5 \text{ dm}$$
• Step 2 : Calculer l'aire latérale du petit cône ($A_L'$). $$A_L' = \pi R' g'$$ $$A_L' = 3,14 \times 1,4 \times 5$$ $$A_L' = 21,98 \text{ dm}^2$$
• Step 3 : Calculer l'aire latérale d'une borne ($A_{L, borne}$). L'aire latérale d'une borne (