This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici la résolution détaillée des exercices. --- Exercice 1 : Statistique (6 points) 1. Regrouper ces données brutes par classes d'amplitude 500. Dresser un tableau statistique comportant les classes, les effectifs, les fréquences et les fréquences cumulées décroissantes. Step 1 : Déterminer les classes. La première classe est [8000 ; 8500[. L'amplitude est de 500. Les valeurs minimales et maximales des données sont 8247 et 10652. Les classes sont donc : [8000 ; 8500[ [8500 ; 9000[ [9000 ; 9500[ [9500 ; 10000[ [10000 ; 10500[ [10500 ; 11000[ Step 2 : Calculer les effectifs (n_i) pour chaque classe. En comptant les données dans chaque intervalle : [8000 ; 8500[ : 8247 (1 donnée) [8500 ; 9000[ : 8553, 8724, 8829, 8859 (4 données) [9000 ; 9500[ : 9016, 9070, 9107, 9118, 9130, 9169, 9186, 9219, 9286, 9345, 9370, 9388, 9393, 9417, 9460 (15 données) [9500 ; 10000[ : 9500, 9502, 9551, 9595, 9627, 9675, 9688, 9729, 9771, 9825, 9845, 9851, 9852, 9877, 9878, 9890, 9897, 9936, 9947, 9994 (20 données) [10000 ; 10500[ : 10024, 10140, 10179, 10188, 10237, 10266, 10303, 10310 (8 données) [10500 ; 11000[ : 10510, 10652 (2 données) Le total des effectifs est 1 + 4 + 15 + 20 + 8 + 2 = 50, ce qui correspond au nombre total de points de vente. Step 3 : Calculer les fréquences (f_i). f_i = (n_i)/(N) où N = 50. f_1 = (1)/(50) = 0,02 f_2 = (4)/(50) = 0,08 f_3 = (15)/(50) = 0,30 f_4 = (20)/(50) = 0,40 f_5 = (8)/(50) = 0,16 f_6 = (2)/(50) = 0,04 La somme des fréquences est 0,02 + 0,08 + 0,30 + 0,40 + 0,16 + 0,04 = 1,00. Step 4 : Calculer les fréquences cumulées décroissantes (F_i). F_1 = 1,00 F_2 = 1,00 - 0,02 = 0,98 F_3 = 0,98 - 0,08 = 0,90 F_4 = 0,90 - 0,30 = 0,60 F_5 = 0,60 - 0,40 = 0,20 F_6 = 0,20 - 0,16 = 0,04 Step 5 : Dresser le tableau statistique. | Classes (CA en millions de F) | Effectifs (n_i) | Fréquences (f_i) | Fréquences cumulées décroissantes (F_i) | |:-------------------------------|:------------------|:-------------------|:------------------------------------------| | [8000 ; 8500[ | 1 | 0,02 | 1,00 | | [8500 ; 9000[ | 4 | 0,08 | 0,98 | | [9000 ; 9500[ | 15 | 0,30 | 0,90 | | [9500 ; 10000[ | 20 | 0,40 | 0,60 | | [10000 ; 10500[ | 8 | 0,16 | 0,20 | | [10500 ; 11000[ | 2 | 0,04 | 0,04 | | Total | 50 | 1,00 | | 2. Calculer le chiffre d'affaires moyen. Step 1 : Calculer le centre de chaque classe (c_i). c_1 = (8000 + 8500)/(2) = 8250 c_2 = (8500 + 9000)/(2) = 8750 c_3 = (9000 + 9500)/(2) = 9250 c_4 = (9500 + 10000)/(2) = 9750 c_5 = (10000 + 10500)/(2) = 10250 c_6 = (10500 + 11000)/(2) = 10750 Step 2 : Appliquer la formule de la moyenne x. x = _i=1^k n_i c_iN x = ((1 × 8250) + (4 × 8750) + (15 × 9250) + (20 × 9750) + (8 × 10250) + (2 × 10750))/(50) x = (8250 + 35000 + 138750 + 195000 + 82000 + 21500)/(50) x = (480500)/(50) x = 9610 millions de F 3. Quel est le pourcentage de points de vente ayant réalisé un chiffre d'affaires CA tel que 9000 CA < 10500 ? Step 1 : Identifier les classes concernées. Les classes qui satisfont la condition 9000 CA < 10500 sont : [9000 ; 9500[ (effectif = 15) [9500 ; 10000[ (effectif = 20) [10000 ; 10500[ (effectif = 8) Step 2 : Calculer l'effectif total de ces classes. Effectif total = 15 + 20 + 8 = 43. Step 3 : Calculer le pourcentage. Pourcentage = (43)/(50) × 100 Pourcentage = 0,86 × 100 Pourcentage = 86\% 4. En utilisant le théorème de Thalès, calcule m_e la médiane de cette série. Step 1 : Déterminer le rang de la médiane et la classe médiane. L'effectif total est N = 50. Le rang de la médiane est (N)/(2) = (50)/(2) = 25. Calculons les effectifs cumulés croissants : [8000 ; 8500[ : N_1 = 1 [8500 ; 9000[ : N_2 = 1 + 4 = 5 [9000 ; 9500[ : N_3 = 5 + 15 = 20 [9500 ; 10000[ : N_4 = 20 + 20 = 40 Le 25ème point de vente se trouve dans la classe [9500 ; 10000[, car N_3 < 25 N_4. La classe médiane est [9500 ; 10000[. Borne inférieure de la classe médiane (L_m) = 9500. Effectif de la classe médiane (n_m) = 20. Effectif cumulé de la classe précédant la classe médiane (N_m-1) = 20. Amplitude de la classe médiane (a_m) = 500. Step 2 : Appliquer la formule d'interpolation linéaire (Thalès) pour la médiane. m_e = L_m + a_m × (N)/(2) - N_m-1n_m m_e = 9500 + 500 × (25 - 20)/(20) m_e = 9500 + 500 × (5)/(20) m_e = 9500 + 500 × (1)/(4) m_e = 9500 + 125 m_e = 9625 millions de F --- Problème : Géométrie (8 points) L'unité de longueur est le décimètre (dm). Cône de révolution : hauteur h = 12 dm, rayon de base R = 3,5 dm. On prend ≈ 3,14. Résultats à 10^-2 près par excès. Partie I 1. Montre que la génératrice du cône mesure 12,5. Step 1 : Appliquer le théorème de Pythagore. Dans un cône de révolution, la génératrice g, la hauteur h et le rayon de base R forment un triangle rectangle. g^2 = R^2 + h^2 Step 2 : Substituer les valeurs et calculer g. g^2 = (3,5)^2 + (12)^2 g^2 = 12,25 + 144 g^2 = 156,25 g = sqrt(156,25) g = 12,5 dm 2. Calcule l'aire latérale A_L du cône. Step 1 : Appliquer la formule de l'aire latérale d'un cône. A_L = R g Step 2 : Substituer les valeurs et calculer A_L. A_L = 3,14 × 3,5 × 12,5 A_L = 137,375 Step 3 : Arrondir à 10^-2 près par excès. A_L ≈ 137,38 dm^2 3. Calcule le volume V du cône. Step 1 : Appliquer la formule du volume d'un cône. V = (1)/(3) R^2 h Step 2 : Substituer les valeurs et calculer V. V = (1)/(3) × 3,14 × (3,5)^2 × 12 V = (1)/(3) × 3,14 × 12,25 × 12 V = 3,14 × 12,25 × 4 V = 153,86 Step 3 : Arrondir à 10^-2 près par excès. V ≈ 153,86 dm^3 4. On effectue une section de ce cône par un plan parallèle à sa base pour obtenir un tronc de cône. Sachant que le coefficient de réduction k est égal à (2)/(5), détermine la hauteur de ce tronc de cône. Step 1 : Calculer la hauteur du petit cône (h'). Le coefficient de réduction k = (2)/(5) est le rapport entre la hauteur du petit cône (formé par la section) et la hauteur du grand cône. h' = k × h h' = (2)/(5) × 12 h' = (24)/(5) h' = 4,8 dm Step 2 : Calculer la hauteur du tronc de cône (h_tronc). La hauteur du tronc de cône est la différence entre la hauteur du grand cône et la hauteur du petit cône. h_tronc = h - h' h_tronc = 12 - 4,8 h_tronc = 7,2 dm Partie II Une borne a la même forme et les mêmes dimensions que le tronc de cône précédent. 1. Sachant que les bornes sont fabriquées en béton armé de masse volumique 3000 kg/m^3, calcule en kilogrammes la masse de béton armé nécessaire pour fabriquer les 100 bornes. (On donnera le résultat à l'unité près par excès). Step 1 : Calculer le rayon de base du petit cône (R'). R' = k × R R' = (2)/(5) × 3,5 R' = 1,4 dm Step 2 : Calculer le volume du petit cône (V'). V' = (1)/(3) (R')^2 h' V' = (1)/(3) × 3,14 × (1,4)^2 × 4,8 V' = (1)/(3) × 3,14 × 1,96 × 4,8 V' = 3,14 × 1,96 × 1,6 V' = 9,84704 Arrondi à 10^-2 près par excès : V' ≈ 9,85 dm^3. Step 3 : Calculer le volume d'une borne (V_borne). Le volume d'une borne (tronc de cône) est la différence entre le volume du grand cône et le volume du petit cône. V_borne = V - V' V_borne = 153,86 - 9,85 V_borne = 144,01 dm^3 Step 4 : Convertir le volume d'une borne en mètres cubes. 1 dm^3 = 0,001 m^3. V_borne = 144,01 × 0,001 m^3 V_borne = 0,14401 m^3 Step 5 : Calculer le volume total pour 100 bornes (V_total). V_total = 100 × V_borne V_total = 100 × 0,14401 m^3 V_total = 14,401 m^3 Step 6 : Calculer la masse totale de béton. Masse volumique = 3000 kg/m^3. Masse m = × V_total m = 3000 kg/m^3 × 14,401 m^3 m = 43203 kg Arrondi à l'unité près par excès : m = 43203 kg 2. La commune souhaiterait aussi recouvrir la surface latérale de chacune de ces bornes par une couche de peinture. Sachant que le pot de peinture couvre une surface d'aire 1 m^2 et coûte 5000 F, calcule la dépense en peinture. Step 1 : Calculer la génératrice du petit cône (g'). g' = k × g g' = (2)/(5) × 12,5 g' = 5 dm Step 2 : Calculer l'aire latérale du petit cône (A_L'). A_L' = R' g' A_L' = 3,14 × 1,4 × 5 A_L' = 21,98 dm^2 Step 3 : Calculer l'aire latérale d'une borne (A_L, borne). L'aire latérale d'une borne ( ✂️ _That answer was long and got cut off. Reply continue and I'll finish it._