Without expanding the determinant prove that |1 a bc| |1 b ca| |1 c ab| = (a-b)(b-c)(c-a)

स्टेप 1: दिए गए सारणिक को लिखें।
माना दिया गया सारणिक $D$ है:

$$D = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$$

स्टेप 2: पंक्ति संक्रियाएँ (row operations) $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करें।

$$D = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1-1 & b-a & ca-bc \\ 1-1 & c-a & ab-bc \end{vmatrix}$$ $$D = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & b-a & c(a-b) \\ 0 & c-a & b(a-c) \end{vmatrix}$$

स्टेप 3: दूसरी पंक्ति से $(a-b)$ और तीसरी पंक्ति से $(a-c)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड (common factors) बाहर निकालें।
ध्यान दें कि $b-a = -(a-b)$ और $c-a = -(a-c)$।

$$D = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & -(a-b) & c(a-b) \\ 0 & -(a-c) & b(a-c) \end{vmatrix}$$ $$D = (a-b)(a-c) \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 0 & -1 & c \\ 0 & -1 & b \end{vmatrix}$$

स्टेप 4: पहले कॉलम के अनुदिश सारणिक का विस्तार करें।

$$D = (a-b)(a-c) \left[ 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & c \\ -1 & b \end{vmatrix} - 0 + 0 \right]$$ $$D = (a-b)(a-c) [(-1)(b) - (c)(-1)]$$ $$D = (a-b)(a-c) [-b + c]$$ $$D = (a-b)(a-c)(c-b)$$

स्टेप 5: परिणाम को वांछित रूप में लिखें।
हम जानते हैं कि $(a-c) = -(c-a)$ और $(c-b) = -(b-c)$।

$$D = (a-b) \cdot (-(c-a)) \cdot (-(b-c))$$ $$D = (a-b) \cdot (-1) \cdot (c-a) \cdot (-1) \cdot (b-c)$$ $$D = (a-b)(b-c)(c-a)$$

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि सारणिक $(a-b)(b-c)(c-a)$ के बराबर है।