Show that | a.b c | | a2 b3 c3 | | a3 b2 c2 | = abc(a-b)(b-c)(c-a)

$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ करें।

$$abc \begin{vmatrix} 1 & 1-1 & 1-1 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & b^2-a^2 & c^2-a^2 \end{vmatrix} = abc \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & b-a & c-a \\ a^2 & (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$$

$$abc \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} b-a & c-a \\ (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) \end{vmatrix}$$

अब $2 \times 2$ सारणिक से $(b-a)$ को पहले कॉलम से और $(c-a)$ को दूसरे कॉलम से बाहर निकालें।

$$abc (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ b+a & c+a \end{vmatrix}$$

$$abc (b-a)(c-a) ((1)(c+a) - (1)(b+a))$$ $$abc (b-a)(c-a) (c+a - b - a)$$ $$abc (b-a)(c-a) (c-b)$$

पदों को $(a-b)(b-c)(c-a)$ के रूप में लिखने के लिए, $(b-a) = -(a-b)$ और $(c-b) = -(b-c)$ का उपयोग करें।

$$abc (-(a-b)) (c-a) (-(b-c))$$ $$abc (-1)^2 (a-b)(b-c)(c-a)$$ $$abc (a-b)(b-c)(c-a)$$ $$\boxed{abc(a-b)(b-c)(c-a)}$$