Probabilité arbre pondélie comment calcul à pondélie détail un exercice de
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4 stepsUn arbre pondéré est un outil graphique qui permet de visualiser et de calculer les probabilités d'événements successifs. Chaque branche de l'arbre est "pondérée" par la probabilité de l'événement qu'elle représente.
Voici comment calculer les probabilités avec un arbre pondéré, détaillé à travers un exercice :
Principes clés :
- La somme des probabilités des branches partant d'un même nœud doit être égale à 1.
- La probabilité d'un chemin (une séquence d'événements) est le produit des probabilités des branches qui composent ce chemin.
- La probabilité d'un événement final est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à cet événement.
Exercice d'exemple : Production de pièces
Une usine utilise deux machines, M1 et M2, pour produire des pièces.
- La machine M1 produit 60% des pièces.
- La machine M2 produit 40% des pièces.
- Parmi les pièces produites par M1, 5% sont défectueuses (D).
- Parmi les pièces produites par M2, 10% sont défectueuses (D).
On choisit une pièce au hasard dans la production totale.
Définition des événements et de leurs probabilités.
Soient les événements :
- M1 : "La pièce provient de la machine M1"
- M2 : "La pièce provient de la machine M2"
- D : "La pièce est défectueuse"
- D̅ : "La pièce n'est pas défectueuse" (non-défectueuse)
D'après l'énoncé, nous avons les probabilités suivantes :
P(M1) = 0,60
P(M2) = 0,40P(D | M1) = 0,05 (probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle vient de M1)
P(D̅ | M1) = 1 - P(D | M1) = 1 - 0,05 = 0,95P(D | M2) = 0,10 (probabilité qu'une pièce soit défectueuse sachant qu'elle vient de M2)
P(D̅ | M2) = 1 - P(D | M2) = 1 - 0,10 = 0,90Construction de l'arbre pondéré.
L'arbre commence par le choix de la machine, puis l'état de la pièce (défectueuse ou non).
Point de départ | |-- P(M1) = 0,60 -- M1 | | | |-- P(D | M1) = 0,05 -- D (chemin M1 et D) | | | |-- P(D̅ | M1) = 0,95 -- D̅ (chemin M1 et D̅) | |-- P(M2) = 0,40 -- M2 | |-- P(D | M2) = 0,10 -- D (chemin M2 et D) | |-- P(D̅ | M2) = 0,90 -- D̅ (chemin M2 et D̅)Calcul des probabilités des chemins (probabilités d'intersections).
Pour chaque chemin, on multiplie les probabilités le long des branches.
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Chemin 1: M1 et D (La pièce vient de M1 et est défectueuse) P(M1 ∩ D) = P(M1) × P(D | M1) P(M1 ∩ D) = 0,60 × 0,05 P(M1 ∩ D) = 0,03
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Chemin 2: M1 et D̅ (La pièce vient de M1 et n'est pas défectueuse) P(M1 ∩ D̅) = P(M1) × P(D̅ | M1) P(M1 ∩ D̅) = 0,60 × 0,95 P(M1 ∩ D̅) = 0,57
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Chemin 3: M2 et D (La pièce vient de M2 et est défectueuse) P(M2 ∩ D) = P(M2) × P(D | M2) P(M2 ∩ D) = 0,40 × 0,10 P(M2 ∩ D) = 0,04
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Chemin 4: M2 et D̅ (La pièce vient de M2 et n'est pas défectueuse) P(M2 ∩ D̅) = P(M2) × P(D̅ | M2) P(M2 ∩ D̅) = 0,40 × 0,90 P(M2 ∩ D̅) = 0,36
Vérification : La somme de toutes les probabilités des chemins doit être égale à 1.
0,03 + 0,57 + 0,04 + 0,36 = 1,00. C'est correct.-
Réponse aux questions de l'exercice.
a) Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard provienne de M1 et soit défectueuse ?
C'est la probabilité du Chemin 1.
P(M1 ∩ D) = 0,03b) Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard soit défectueuse ?
Pour trouver la probabilité d'être défectueuse (D), on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à l'événement D.
P(D) = P(M1 ∩ D) + P(M2 ∩ D)
P(D) = 0,03 + 0,04
P(D) = 0,07c) Quelle est la probabilité qu'une pièce choisie au hasard provienne de M2 et ne soit pas défectueuse ?
C'est la probabilité du Chemin 4.
P(M2 ∩ D̅) = 0,36
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