Q.1 Multiple Choice Questions. Choose the correct answer.

The final answer is $\boxed{\text{(b) } x = \log_a n}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(a) } x^y = x}$

---

$$\log_a 1 = 0 \quad \text{because} \quad a^0 = 1$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } 0}$

---

$$\log_x x = 1 \quad \text{because} \quad x^1 = x$$

The final answer is $\boxed{\text{(b) } 1}$

---

$$\log_e e = 1$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } 1}$

---

$$\log \frac{p}{q} = \log p - \log q$$

The final answer is $\boxed{\text{(b) } \log p - \log q}$

---

$$\log p - \log q = \log \frac{p}{q}$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } \log \frac{p}{q}}$

---

$$\log m^n = n \log m$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } n \log m}$

---

$$\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } \log_a (MN)}$

---

$$\log_x x = 1$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } 1}$

---

Additional MCQ

The final answer is $\boxed{\text{(b) } 10}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(b) } e}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(c) Characteristic}}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(b) Mantissa}}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(d) None}}$

---

$$306000 = 3.06 \times 10^5$$

The final answer is $\boxed{\text{(a) } 3.06 \times 10^5}$

---

$$6.35 \times 10^4 = 63500$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } 63500}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(b) Scientific notation}}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(d) decadic logarithm}}$

---

$$\log_a m + \log_a n = \log_a (m \times n)$$

The final answer is $\boxed{\text{(c) } \log_a (m \times n)}$

---

The final answer is $\boxed{\text{(c) } e}$

---

$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$۔

$$\log_e 2 = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$$

چونکہ یہ آپشنز میں موجود نہیں ہے اور سوال میں "is written as" کا مطلب نوٹیشن یا مساوی اظہار ہو سکتا ہے، اور آپشن (c) خود $\log_e 2$ ہے، جو کہ نیچرل لاگرتھم کی نوٹیشن ہے۔ تاہم، سوال "in common logarithm" پوچھ رہا ہے۔ اس صورت میں، سوال میں ابہام ہے یا آپشنز نامکمل ہیں۔ اگر سوال کا مقصد $\log_{10} 2$ پوچھنا ہوتا تو (b) درست ہوتا۔ لیکن چونکہ یہ $\log_e 2$ ہے، اور کوئی بھی آپشن اسے کامن لاگرتھم میں صحیح طور پر ظاہر نہیں کرتا، تو یہ سوال مبہم ہے۔ تاہم، اگر ہم یہ فرض کریں کہ سوال کا مقصد $\log_{10} 2$ کی قدر پوچھنا ہے، تو (b) درست ہو سکتا ہے۔ لیکن سوال واضح طور پر $\log_e 2$ پوچھ رہا ہے۔ اس صورتحال میں، اگر کوئی آپشن براہ راست تبدیلی نہیں دکھاتا، تو ہم اس آپشن کو منتخب کریں گے جو سوال میں دی گئی قدر کو ظاہر کرتا ہے، اگرچہ یہ "in common logarithm" کی شرط کو پورا نہیں کرتا۔ لیکن یہ ایک غلط فہمی ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اگر ہم یہ فرض کریں کہ سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے، تو یہ $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} e}$ ہوگا۔ چونکہ یہ آپشنز میں نہیں ہے، اور آپشن (c) صرف اصل اظہار ہے، یہ سوال غلط فہمی کا شکار ہے۔

اس سوال میں ابہام ہے کیونکہ $\log_e 2$ کو براہ راست "کامن لاگرتھم میں" کسی ایک آپشن کے طور پر نہیں لکھا جا سکتا۔ تاہم، اگر سوال کا مقصد یہ ہے کہ $\log_e 2$ کو کس طرح حساب کیا جا سکتا ہے کامن لاگرتھم کا استعمال کرتے ہوئے،