أوجد الكسر اللازم للوصول إلى متسلسل

لإيجاد الحد الأوسط في مفكوك $\left(\frac{1}{س^2} + س^3\right)^{12}$، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: تحديد قيم $n$, $a$, و $b$. لدينا مفكوك على الصورة $(a+b)^n$. في هذه المسألة: $n = 12$ $a = \frac{1}{س^2} = س^{-2}$ $b = س^3$

الخطوة 2: تحديد موقع الحد الأوسط. بما أن $n=12$ هو عدد زوجي، فإن عدد الحدود في المفكوك هو $n+1 = 13$ حدًا. الحد الأوسط هو الحد رقم $\left(\frac{n}{2} + 1\right)$. موقع الحد الأوسط = $\frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$. إذن، الحد الأوسط هو الحد السابع ($T_7$). لإيجاد $T_7$، نستخدم الصيغة العامة للحد $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. بما أن $k+1 = 7$, فإن $k=6$.

الخطوة 3: حساب الحد الأوسط. نعوض القيم في صيغة الحد العام: $T_7 = \binom{12}{6} (س^{-2})^{12-6} (س^3)^6$ $T_7 = \binom{12}{6} (س^{-2})^6 (س^3)^6$ $T_7 = \binom{12}{6} س^{-12} س^{18}$ $T_7 = \binom{12}{6} س^{-12+18}$ $T_7 = \binom{12}{6} س^6$

الخطوة 4: حساب المعامل التوافقي $\binom{12}{6}$. $\binom{12}{6} = \frac{12!}{6!(12-6)!} = \frac{12!}{6!6!}$ $\binom{12}{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$ $\binom{12}{6} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{720}$ $\binom{12}{6} = 11 \times 2 \times 3 \times 2 \times 7$ $\binom{12}{6} = 924$

الخطوة 5: كتابة الحد الأوسط النهائي. $T_7 = 924 س^6$

الحد الأوسط هو: $\boxed{924 س^6}$