स्टेप 1: एक समूह के एक तत्व के क्रम को परिभाषित करें।

स्टेप 1: एक समूह के एक तत्व के क्रम को परिभाषित करें। एक समूह $(G, \cdot)$ में एक तत्व $a$ का क्रम (order), जिसे $o(a)$ या $|a|$ से दर्शाया जाता है, सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ होता है जिसके लिए $a^n = e$, जहाँ $e$ समूह का तत्समक (identity) तत्व है। यदि ऐसा कोई धनात्मक पूर्णांक मौजूद नहीं है, तो तत्व का क्रम अनंत (infinite) होता है। एक योगात्मक समूह $(G, +)$ के लिए, तत्व $a$ का क्रम सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ होता है जिसके लिए $n \cdot a = e$ (जहाँ $n \cdot a$ का अर्थ $a$ को $n$ बार जोड़ना है)।

स्टेप 2: $\mathbb{Z}_6$ में तत्व $2$ का क्रम ज्ञात करें। समूह $\mathbb{Z}_6 = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है, जो मॉड्यूलो $6$ के तहत पूर्णांकों का योगात्मक समूह है। इस समूह में तत्समक तत्व $0$ है। हमें सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ ज्ञात करना है जिसके लिए $n \cdot 2 \equiv 0 \pmod 6$ हो।

हम $2$ के गुणजों की जाँच करते हैं: $1 \cdot 2 = 2 \not\equiv 0 \pmod 6$ $2 \cdot 2 = 4 \not\equiv 0 \pmod 6$ $3 \cdot 2 = 6 \equiv 0 \pmod 6$

सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $n$ जिसके लिए $n \cdot 2 \equiv 0 \pmod 6$ है, वह $3$ है। इसलिए, $\mathbb{Z}_6$ में तत्व $2$ का क्रम $3$ है।

$\boxed{एक समूह के एक तत्व का क्रम सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक n है जिसके लिए a^n = e (गुणात्मक समूह के लिए) या n \cdot a = e (योगात्मक समूह के लिए)। \mathbb{Z}_6 में 2 का क्रम *3* है।}$