Résoudre l'équation 4 Cx5 = Ax3

La formule pour les combinaisons $C_n^k$ est $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
La formule pour les arrangements $A_n^k$ est $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Dans notre cas, l'équation est $4 C_x^5 = A_x^3$.
Donc, $4 \times \frac{x!}{5!(x-5)!} = \frac{x!}{(x-3)!}$.

Pour que les termes soient définis, nous devons avoir $x \ge 5$.
On peut diviser les deux côtés par $x!$ (puisque $x \ge 5$, $x! \ne 0$).

On sait que $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

On peut exprimer $(x-3)!$ en fonction de $(x-5)!$:

Substituer cela dans l'équation:

Puisque $x \ge 5$, $(x-5)! \ne 0$, on peut diviser les deux côtés par $(x-5)!$:

Développer le côté gauche:

C'est une équation quadratique. Nous pouvons la résoudre par factorisation. Nous cherchons deux nombres qui multiplient à $-18$ et additionnent à $-7$. Ces nombres sont $-9$ et 2.

Cela donne deux solutions possibles pour $x$:
$x-9 = 0 \implies x = 9$
$x+2 = 0 \implies x = -2$

Nous avons établi que $x \ge 5$.
La solution $x=9$ est valide.
La solution $x=-2$ n'est pas valide car elle ne respecte pas la condition $x \ge 5$.

La solution de l'équation est $\boxed{x=9}$.

Problème 2 : Déterminer la fonction de décodage avec les clés $a=19$ et $b=10$

Ce problème concerne un chiffrement affine. La fonction de chiffrement (encodage) est généralement de la forme $E(x) = (ax + b) \pmod m$, où $x$ est la valeur numérique de la lettre en clair, $a$ et $b$ sont les clés, et $m$ est la taille de l'alphabet.

La fonction de chiffrement est $y \equiv (ax + b) \pmod m$.
Nous avons $a=19$ et $b=10$.
La taille de l'alphabet $m$ n'est pas spécifiée. Nous allons supposer un alphabet de 26 lettres (A-Z), donc $m=26$.

Pour déchiffrer, nous devons résoudre l'équation pour $x$:
$y \equiv (ax + b) \pmod m$
$y - b \equiv ax \pmod m$
Pour trouver $x$, nous devons multiplier par l'inverse modulaire de $a$, noté $a^{-1}$, tel que $a \cdot a^{-1} \equiv 1 \pmod m$.
$x \equiv a^{-1}(y - b) \pmod m$

Nous devons trouver $a^{-1} \pmod m$, c'est-à-dire $19^{-1} \pmod{26}$.
Nous cherchons un entier $k$ tel que $19k \equiv 1 \pmod{26}$.
En testant des valeurs ou en utilisant l'algorithme d'Euclide étendu:
$19 \times 1 = 19 \equiv 19 \pmod{26}$
$19 \times 2 = 38 \equiv 12 \pmod{26}$
...
$19 \times 11 = 209$
$209 = 8 \times 26 + 1$
Donc, $19 \times 11 \equiv 1 \pmod{26}$.
L'inverse modulaire de $19