Résoudre le système d'équations suivant : x + y = 16 et xy = −1024.

Question

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Voici la résolution de l'Exercice N°4.

Le système donné est :

\begin{cases} x + y = 16 \\ xy = -1024 \end{cases}

Ce système peut être résolu en considérant $x$ et $y$ comme les racines d'une équation quadratique de la forme $t^2 - (x+y)t + xy = 0$ .

Substituer les valeurs de la somme et du produit dans l'équation quadratique.
Nous avons $x+y = 16$ et $xy = -1024$ .
L'équation quadratique devient :
$t^2 - 16t - 1024 = 0$
Calculer le discriminant $\Delta$ de l'équation quadratique.
Pour une équation $at^2 + bt + c = 0$ , le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Ici, $a=1$ , $b=-16$ , $c=-1024$ .
$\Delta = (-16)^2 - 4(1)(-1024)$ $\Delta = 256 + 4096$ $\Delta = 4352$
Calculer la racine carrée du discriminant.
$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4352} = \sqrt{256 \times 17} = \sqrt{256} \times \sqrt{17} = 16\sqrt{17}$
Trouver les racines $t_1$ et $t_2$ de l'équation quadratique.
Les racines sont données par la formule $t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$t = \frac{-(-16) \pm 16\sqrt{17}}{2(1)}$ $t = \frac{16 \pm 16\sqrt{17}}{2}$ $t_1 = \frac{16 + 16\sqrt{17}}{2} = 8 + 8\sqrt{17}$ $t_2 = \frac{16 - 16\sqrt{17}}{2} = 8 - 8\sqrt{17}$
Écrire l'ensemble des solutions du système.
Les valeurs de $t_1$ et $t_2$ sont les paires $(x, y)$ qui satisfont le système.
$\boxed{S = \left\{ (8 + 8\sqrt{17}, 8 - 8\sqrt{17}), (8 - 8\sqrt{17}, 8 + 8\sqrt{17}) \right\}}$

Résoudre le système d'équations suivant : x + y = 16 et xy = -1024.