Résoudre les équations suivantes : x3 - 8 + 2(x2 - 4) + 3x - 6 = 0 et racx+22−x = 0.

On remarque que $x^3 - 8$ est une différence de cubes $(x-2)(x^2+2x+4)$ et $x^2 - 4$ est une différence de carrés $(x-2)(x+2)$. Le terme $3x-6$ peut être factorisé en $3(x-2)$.

• Premier facteur: $x-2 = 0$ $$x = 2$$
• Deuxième facteur: $x^2+4x+11 = 0$ Calculons le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. $$\Delta = 4^2 - 4(1)(11) = 16 - 44 = -28$$ Puisque $\Delta < 0$, cette équation quadratique n'a pas de solutions réelles.

L'ensemble des solutions réelles pour la première équation est $\boxed{\{2\}}$.

2) Résoudre $\frac{x+2}{2-x} = 0$

Le dénominateur ne peut pas être nul, donc $2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Pour qu'une fraction soit égale à zéro, son numérateur doit être égal à zéro.

La solution $x=-2$ est valide car $x \neq 2$.

L'ensemble des solutions réelles pour la deuxième équation est $\boxed{\{-2\}}$.

3) Résoudre $\frac{6x-1}{3x+2} = \frac{6x+1}{3x-2}$

Les dénominateurs ne peuvent pas être nuls:
$3x+2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq -2 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{3}$
$3x-2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 2 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$

Côté gauche:

Côté droit:

Soustraire $18x^2$ et 2 des deux côtés:

Ajouter $15x$ aux deux côtés:

La solution $x=0$ est valide car $0 \neq -\frac{2}{3}$ et $0 \neq \frac{2}{3}$.

L'ensemble des solutions réelles pour la troisième équation est $\boxed{\{0\}}$.