Résous Celui ci

Soit $z = x+iy$.
Alors $z-2i = x+iy-2i = x+i(y-2)$.
Et $z+1 = x+iy+1 = (x+1)+iy$.

L'expression de $z'$ devient :

Le conjugué du dénominateur $(x+1)+iy$ est $(x+1)-iy$.

Pour que $z'$ soit un nombre réel, sa partie imaginaire doit être nulle.
La partie imaginaire de $z'$ est $\frac{y-2x-2}{(x+1)^2 + y^2}$.
Donc, nous devons avoir $y-2x-2 = 0$.

Le dénominateur $(x+1)^2 + y^2$ ne peut pas être nul.
$(x+1)^2 + y^2 = 0$ si et seulement si $x+1=0$ et $y=0$.
Ceci correspond au point $M(-1;0)$.
Donc, le point $M(-1;0)$ doit être exclu de l'ensemble des points.

L'ensemble des points $M(x;y)$ est défini par l'équation $y-2x-2=0$, soit $y = 2x+2$.
Cette équation représente une droite.
Vérifions si le point $M(-1;0)$ est sur cette droite : $0 = 2(-1)+2 \implies 0 = -2+2 \implies 0=0$.
Oui, le point $(-1;0)$ est sur cette droite.

Par conséquent, l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $z'$ soit un nombre réel est la droite d'équation $y = 2x+2$, à l'exception du point de coordonnées $(-1;0)$.

L'ensemble des points $M(x;y)$ est la droite d'équation $\boxed{y = 2x+2 \text{ privée du point } (-1;0)}$.