यदि sin 2x = sin 60°.cos 30°+cos² 60° तो x का मान है

हम जानते हैं कि $(1 - \sin A)(1 + \sin A) = 1^2 - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A$ होता है।

$$\sec^2 A (1 - \sin^2 A)$$

हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$ होता है।

$$\sec^2 A \cos^2 A$$

हम जानते हैं कि $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ होता है।

$$\left(\frac{1}{\cos A}\right)^2 \cos^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \cos^2 A = 1$$

अतः, सही विकल्प (C) है।

The final answer is $\boxed{\text{(C) } 1}$.

प्रश्न 4:
यदि $\tan \theta + \cot \theta = 4$ तो $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta$ का मान ज्ञात करें।

हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ और $\tan \theta \cot \theta = 1$ होता है।

$$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$$ $$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2(1) = 16$$ $$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = 16$$

$$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 16 - 2$$ $$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 14$$

अतः, सही विकल्प (C) है।

The final answer is $\boxed{\text{(C) } 14}$.

प्रश्न 5:
यदि $\sin 2x = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ तो $x$ का मान ज्ञात करें।

हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ होता है।

$$\sin 2x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)^2$$

$$\sin 2x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$$ $$\sin 2x = \frac{3+1}{4}$$ $$\sin 2x = \frac{4}{4}$$ $$\sin 2x = 1$$

हम जानते हैं कि $\sin 90^\circ = 1$ होता है।

$$\sin 2x = \sin 90^\circ$$ $$2x = 90^\circ$$ $$x = \frac{90^\circ}{2}$$ $$x = 45^\circ$$

अतः, सही विकल्प (B) है।

The final answer is $\boxed{\text{(B) } 45^\circ}$.

प्रश्न 6:
यदि $A$ और $B$ दो न्यूनकोण इस प्रकार हैं कि $\sin A = \cos B$, तो $(A + B)$ का मान ज्ञात करें।

हम जानते हैं कि $\cos B = \sin (90^\circ - B)$ होता है।

$$\sin A = \sin (90^\circ - B)$$

चूंकि $A$ और $B$ न्यूनकोण हैं, इसलिए हम कोणों की सीधे तुलना कर सकते हैं।

$$A = 90^\circ - B$$

$B$ को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ।

$$A + B = 90^\circ$$

अतः, सही विकल्प (A) है।

The final answer is $\boxed{\text{(A) } 90^\circ}$.