यदि sin 2x = sin 60°.cos 30°+cos² 60° तो x का मान है

यहाँ दिए गए प्रश्नों के हल इस प्रकार हैं:

प्रश्न 3: यह प्रश्न थोड़ा अस्पष्ट है, लेकिन विकल्पों को देखते हुए, हम यह मानेंगे कि प्रश्न है: यदि $\sec^2 A (1 - \sin A)(1 + \sin A)$ का मान है।

Step 1: दिए गए व्यंजक को सरल करें। हम जानते हैं कि $(1 - \sin A)(1 + \sin A) = 1^2 - \sin^2 A = 1 - \sin^2 A$ होता है। $\sec^2 A (1 - \sin^2 A)$

Step 2: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करें। हम जानते हैं कि $1 - \sin^2 A = \cos^2 A$ होता है। $\sec^2 A \cos^2 A$

Step 3: $\sec A$ और $\cos A$ के संबंध का उपयोग करें। हम जानते हैं कि $\sec A = \frac{1}{\cos A}$ होता है। $\left(\frac{1}{\cos A}\right)^2 \cos^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} \cos^2 A = 1$ अतः, सही विकल्प (C) है।

The final answer is $\boxed{(C) 1}$.

प्रश्न 4: यदि $\tan \theta + \cot \theta = 4$ तो $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta$ का मान ज्ञात करें।

Step 1: दिए गए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें। $(\tan \theta + \cot \theta)^2 = 4^2$

Step 2: वर्ग को खोलें और सर्वसमिका का उपयोग करें। हम जानते हैं कि $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ और $\tan \theta \cot \theta = 1$ होता है। $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$ $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2(1) = 16$ $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta + 2 = 16$

Step 3: $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta$ का मान ज्ञात करें। $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 16 - 2$ $\tan^2 \theta + \cot^2 \theta = 14$ अतः, सही विकल्प (C) है।

The final answer is $\boxed{(C) 14}$.

प्रश्न 5: यदि $\sin 2x = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos^2 60^\circ$ तो $x$ का मान ज्ञात करें।

Step 1: ज्ञात त्रिकोणमितीय मानों को प्रतिस्थापित करें। हम जानते हैं कि $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ होता है। $\sin 2x = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)^2$

Step 2: व्यंजक को सरल करें। $\sin 2x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ $\sin 2x = \frac{3+1}{4}$ $\sin 2x = \frac{4}{4}$ $\sin 2x = 1$

Step 3: $x$ का मान ज्ञात करें। हम जानते हैं कि $\sin 90^\circ = 1$ होता है। $\sin 2x = \sin 90^\circ$ $2x = 90^\circ$ $x = \frac{90^\circ}{2}$ $x = 45^\circ$ अतः, सही विकल्प (B) है।

The final answer is $\boxed{(B) 45^\circ}$.

प्रश्न 6: यदि $A$ और $B$ दो न्यूनकोण इस प्रकार हैं कि $\sin A = \cos B$, तो $(A + B)$ का मान ज्ञात करें।

Step 1: $\cos B$ को $\sin$ के पदों में व्यक्त करें। हम जानते हैं कि $\cos B = \sin (90^\circ - B)$ होता है। $\sin A = \sin (90^\circ - B)$

Step 2: कोणों की तुलना करें। चूंकि $A$ और $B$ न्यूनकोण हैं, इसलिए हम कोणों की सीधे तुलना कर सकते हैं। $A = 90^\circ - B$

Step 3: $(A + B)$ का मान ज्ञात करें। $B$ को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ। $A + B = 90^\circ$ अतः, सही विकल्प (A) है।

The final answer is $\boxed{(A) 90^\circ}$.

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