ما هو تكامل sin5(x)cos2(x)؟

Question

ScanSolve AI Tutor · Accepted Answer

لحل هذه التكامل، سنستخدم التعويض والمتطابقات المثلثية.

أعد كتابة التكامل بفصل $\sin x$ .
$\int \sin^5 x \cos^2 x \, dx = \int \sin^4 x \cos^2 x \sin x \, dx$
استخدم المتطابقة $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ للتعبير عن $\sin^4 x$ بدلالة $\cos x$ .
$\sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (1 - \cos^2 x)^2$
أصبح التكامل:
$\int (1 - \cos^2 x)^2 \cos^2 x \sin x \, dx$
قم بالتعويض.
افترض $u = \cos x$ .
إذن، $du = -\sin x \, dx$ .
وبالتالي، $\sin x \, dx = -du$ .
استبدل $u$ و $du$ في التكامل.
$\int (1 - u^2)^2 u^2 (-du)$ $= -\int (1 - 2u^2 + u^4) u^2 \, du$
قم بتوسيع المقدار داخل التكامل ثم كامله.
$= -\int (u^2 - 2u^4 + u^6) \, du$ $= -\left( \frac{u^{2+1}}{2+1} - 2\frac{u^{4+1}}{4+1} + \frac{u^{6+1}}{6+1} \right) + C$ $= -\left( \frac{u^3}{3} - \frac{2u^5}{5} + \frac{u^7}{7} \right) + C$ $= -\frac{u^3}{3} + \frac{2u^5}{5} - \frac{u^7}{7} + C$
استبدل $u$ بقيمتها الأصلية $\cos x$ .
$= -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C$
الجواب النهائي هو:
$\boxed{-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{2\cos^5 x}{5} - \frac{\cos^7 x}{7} + C}$

Step-by-step solution