Iv) 5x(sin 5x + sin 3x) = cotx (sin 5x - sin 3x)

LHS = $\tan 5x (\sin 5x + \sin 3x)$
हम $\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ $A = 5x$ और $B = 3x$ है।

$$\sin 5x + \sin 3x = 2 \sin \left(\frac{5x+3x}{2}\right) \cos \left(\frac{5x-3x}{2}\right)$$ $$= 2 \sin \left(\frac{8x}{2}\right) \cos \left(\frac{2x}{2}\right)$$ $$= 2 \sin 4x \cos x$$

तो, LHS = $\tan 5x (2 \sin 4x \cos x)$

$$= \frac{\sin 5x}{\cos 5x} (2 \sin 4x \cos x)$$ $$= \frac{2 \sin 5x \sin 4x \cos x}{\cos 5x}$$

RHS = $\cot x (\sin 5x - \sin 3x)$
हम $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ $A = 5x$ और $B = 3x$ है।

$$\sin 5x - \sin 3x = 2 \cos \left(\frac{5x+3x}{2}\right) \sin \left(\frac{5x-3x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos \left(\frac{8x}{2}\right) \sin \left(\frac{2x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos 4x \sin x$$

तो, RHS = $\cot x (2 \cos 4x \sin x)$

$$= \frac{\cos x}{\sin x} (2 \cos 4x \sin x)$$ $$= 2 \cos x \cos 4x$$

हमें सिद्ध करना है कि LHS = RHS, यानी:

$$\frac{2 \sin 5x \sin 4x \cos x}{\cos 5x} = 2 \cos x \cos 4x$$

दोनों पक्षों से $2 \cos x$ को रद्द करें (यह मानते हुए कि $\cos x \neq 0$ है)।

$$\frac{\sin 5x \sin 4x}{\cos 5x} = \cos 4x$$

$$\cos(5x + 4x) = 0$$ $$\cos(9x) = 0$$

निष्कर्ष:
यह समीकरण $\cos(9x) = 0$ पर समाप्त होता है। यह एक सर्वसमिका नहीं है क्योंकि यह $x$ के सभी मानों के लिए सत्य नहीं है। यह केवल उन विशिष्ट मानों के लिए सत्य है जहाँ $9x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (जहाँ $n$ एक पूर्णांक है), या $x = \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{9}$।
इसलिए, दिया गया कथन एक सर्वसमिका नहीं है।