Prove that: i) cos π/5 + cos 2π/5 = 1/2; ii) cos π/12 - sin π/12 = 1/√2; iii) sin 18° - cos 5π/9 = √3 sin π/9; iv) cos(π/4 + 3π/4 + x) - cos(π/4 - x) = -√2 sin x

हम योग को गुणनफल में बदलने के लिए सूत्र $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ, $A = 7x$ और $B = 5x$ है।

$$\cos 7x + \cos 5x = 2 \cos \left(\frac{7x+5x}{2}\right) \cos \left(\frac{7x-5x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos \left(\frac{12x}{2}\right) \cos \left(\frac{2x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos 6x \cos x$$

हम अंतर को गुणनफल में बदलने के लिए सूत्र $\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ, $A = 7x$ और $B = 5x$ है।

$$\sin 7x - \sin 5x = 2 \cos \left(\frac{7x+5x}{2}\right) \sin \left(\frac{7x-5x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos \left(\frac{12x}{2}\right) \sin \left(\frac{2x}{2}\right)$$ $$= 2 \cos 6x \sin x$$

अब हम Step 1 और Step 2 के परिणामों को एक साथ रखेंगे:

$$\frac{\cos 7x + \cos 5x}{\sin 7x - \sin 5x} = \frac{2 \cos 6x \cos x}{2 \cos 6x \sin x}$$

अंश और हर दोनों में $2 \cos 6x$ पद है, जिसे रद्द किया जा सकता है।

$$= \frac{\cos x}{\sin x}$$

हम जानते हैं कि $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ होता है।

$$= \cot x$$

इसलिए, हल सही है।

अंतिम उत्तर है:

$$\boxed{\cot x}$$

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