Prove that cos 7x + cos 5x / cos 7x - cos 5x = cot x Prove that sin 2x / sin 2 x + cos 2 x = 2 sin x

यहाँ दिए गए प्रश्न का हल है:

समस्या 6. (i): सिद्ध करें कि $\frac{\cos 7x + \cos 5x}{\sin 7x - \sin 5x} = \cot x$

Step 1: बाएँ हाथ की ओर (LHS) से शुरू करें। $LHS = \frac{\cos 7x + \cos 5x}{\sin 7x - \sin 5x}$

Step 2: अंश को सरल करने के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \cos \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करें। यहाँ $C = 7x$ और $D = 5x$ है। $\cos 7x + \cos 5x = 2 \cos \left(\frac{7x+5x}{2}\right) \cos \left(\frac{7x-5x}{2}\right)$ $= 2 \cos \left(\frac{12x}{2}\right) \cos \left(\frac{2x}{2}\right)$ $= 2 \cos 6x \cos x$

Step 3: हर को सरल करने के लिए योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ का उपयोग करें। यहाँ $C = 7x$ और $D = 5x$ है। $\sin 7x - \sin 5x = 2 \cos \left(\frac{7x+5x}{2}\right) \sin \left(\frac{7x-5x}{2}\right)$ $= 2 \cos \left(\frac{12x}{2}\right) \sin \left(\frac{2x}{2}\right)$ $= 2 \cos 6x \sin x$

Step 4: अंश और हर के सरलीकृत मानों को LHS में प्रतिस्थापित करें। $LHS = \frac{2 \cos 6x \cos x}{2 \cos 6x \sin x}$

Step 5: उभयनिष्ठ पदों को रद्द करें। $LHS = \frac{\cos x}{\sin x}$

Step 6: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$। $LHS = \cot x$ यह दाहिने हाथ की ओर (RHS) के बराबर है। $LHS = RHS$ इस प्रकार, यह सिद्ध हो गया है।

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