Soit la fonction f définie par f(x) = -1 + (25)/(x+3). Étudier la dérivabilité de f en 2 et en -8. En déduire le coefficient directeur de chacune des droites tangentes à C_f en ces points.

Voici la résolution de l'exercice: La fonction donnée est f(x) = -1 + (25)/(x+3). a) Étudier la dérivabilité de f en 2 et en -8. Step 1: Déterminer le domaine de définition de f(x). La fonction f(x) est une fonction rationnelle. Elle est définie pour toutes les valeurs de x pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul. x+3 ≠ 0 x ≠ -3 Le domaine de définition de f est D_f = R \-3\. Step 2: Déterminer la dérivabilité de f(x). Une fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition. Puisque 2 D_f (car 2 ≠ -3) et -8 D_f (car -8 ≠ -3), la fonction f est dérivable en x=2 et en x=-8. Pour plus de rigueur, calculons la dérivée f'(x): f(x) = -1 + 25(x+3)^-1 f'(x) = 0 + 25 · (-1)(x+3)^-2 · (1) f'(x) = -(25)/((x+3)^2) La dérivée f'(x) est définie pour tout x ≠ -3. Puisque 2 ≠ -3 et -8 ≠ -3, f'(2) et f'(-8) existent. Donc, f est dérivable en x=2 et en x=-8. b) Déduire le coefficient directeur de chacun des droites tangentes à C_f en points d'abscisse 2 et -8. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a est donné par f'(a). Nous avons f'(x) = -(25)/((x+3)^2). Step 1: Calculer le coefficient directeur en x=2. f'(2) = -(25)/((2+3)^2) = -(25)/(5^2) = -(25)/(25) = -1 Le coefficient directeur de la tangente en x=2 est -1. Step 2: Calculer le coefficient directeur en x=-8. f'(-8) = -(25)/((-8+3)^2) = -(25)/((-5)^2) = -(25)/(25) = -1 Le coefficient directeur de la tangente en x=-8 est -1. c) Que peut-on dire sur ces deux tangentes ? Les deux tangentes ont le même coefficient directeur, qui est -1. Des droites ayant le même coefficient directeur sont parallèles. d) Donner l'équation cartésienne de chacun des deux tangentes. L'équation de la tangente à la courbe C_f au point d'abscisse a est donnée par la formule y - f(a) = f'(a)(x - a). Step 1: Équation de la tangente au point d'abscisse x=2. Calculons f(2): f(2) = -1 + (25)/(2+3) = -1 + (25)/(5) = -1 + 5 = 4 Le coefficient directeur est f'(2) = -1. L'équation de la tangente T_2 est: y - f(2) = f'(2)(x - 2) y - 4 = -1(x - 2) y - 4 = -x + 2 y = -x + 2 + 4 y = -x + 6 L'équation de la tangente en x=2 est y = -x + 6. Step 2: Équation de la tangente au point d'abscisse x=-8. Calculons f(-8): f(-8) = -1 + (25)/(-8+3) = -1 + (25)/(-5) = -1 - 5 = -6 Le coefficient directeur est f'(-8) = -1. L'équation de la tangente T_-8 est: y - f(-8) = f'(-8)(x - (-8)) y - (-6) = -1(x + 8) y + 6 = -x - 8 y = -x - 8 - 6 y = -x - 14 L'équation de la tangente en x=-8 est y = -x - 14.