Soit la fonction f définie par f(x) = -1 + (25)/(x+3). Étudier la dérivabilité de f en 2 et en -8. En déduire le coefficient directeur de chacune des droites tangentes à C_f en ces points.

La fonction $f(x)$ est une fonction rationnelle. Elle est définie pour toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul.

$$x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$$

Le domaine de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Une fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.
Puisque $2 \in D_f$ (car $2 \neq -3$) et $-8 \in D_f$ (car $-8 \neq -3$), la fonction $f$ est dérivable en $x=2$ et en $x=-8$.

Pour plus de rigueur, calculons la dérivée $f'(x)$:

$$f(x) = -1 + 25(x+3)^{-1}$$ $$f'(x) = 0 + 25 \cdot (-1)(x+3)^{-2} \cdot (1)$$ $$f'(x) = -\frac{25}{(x+3)^2}$$

La dérivée $f'(x)$ est définie pour tout $x \neq -3$.
Puisque $2 \neq -3$ et $-8 \neq -3$, $f'(2)$ et $f'(-8)$ existent.
Donc, $f$ est dérivable en $x=2$ et en $x=-8$.

$$f'(2) = -\frac{25}{(2+3)^2} = -\frac{25}{5^2} = -\frac{25}{25} = -1$$

Le coefficient directeur de la tangente en $x=2$ est $\boxed{-1}$.

$$f'(-8) = -\frac{25}{(-8+3)^2} = -\frac{25}{(-5)^2} = -\frac{25}{25} = -1$$

Le coefficient directeur de la tangente en $x=-8$ est $\boxed{-1}$.

Calculons $f(2)$:

$$f(2) = -1 + \frac{25}{2+3} = -1 + \frac{25}{5} = -1 + 5 = 4$$

Le coefficient directeur est $f'(2) = -1$.
L'équation de la tangente $T_2$ est:

$$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$$ $$y - 4 = -1(x - 2)$$ $$y - 4 = -x + 2$$ $$y = -x + 2 + 4$$ $$y = -x + 6$$

L'équation de la tangente en $x=2$ est $\boxed{y = -x + 6}$.

Calculons $f(-8)$:

$$f(-8) = -1 + \frac{25}{-8+3} = -1 + \frac{25}{-5} = -1 - 5 = -6$$

Le coefficient directeur est $f'(-8) = -1$.
L'équation de la tangente $T_{-8}$ est:

$$y - f(-8) = f'(-8)(x - (-8))$$ $$y - (-6) = -1(x + 8)$$ $$y + 6 = -x - 8$$ $$y = -x - 8 - 6$$ $$y = -x - 14$$

L'équation de la tangente en $x=-8$ est $\boxed{y = -x - 14}$.