Soit la fonction f définie par f(x) = x2 − 2x − 3. Déterminer le domaine de définition, calculer l'image de 0, 1, -1, 2 et 3 par f, et trouver les antécédents de -3 par f.

Voici la solution de l'exercice.

Soit la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 - 2x - 3$.

1) Déterminer le domaine de définition de $f$.
La fonction $f(x) = x^2 - 2x - 3$ est une fonction polynomiale. Les fonctions polynomiales sont définies pour toutes les valeurs réelles de $x$.
Le domaine de définition de $f$ est :

$$\boxed{D_f = \mathbb{R}}$$

2) Calculer l'image de 0, 1, $-1$, 2 et 3 par $f$.
Pour trouver l'image d'un nombre, on substitue ce nombre à $x$ dans l'expression de $f(x)$.

• Pour $x = 0$: $f(0) = (0)^2 - 2(0) - 3$ $f(0) = 0 - 0 - 3$

  $$\boxed{f(0) = -3}$$

• Pour $x = 1$: $f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3$ $f(1) = 1 - 2 - 3$

  $$\boxed{f(1) = -4}$$

• Pour $x = -1$: $f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 3$ $f(-1) = 1 + 2 - 3$

  $$\boxed{f(-1) = 0}$$

• Pour $x = 2$: $f(2) = (2)^2 - 2(2) - 3$ $f(2) = 4 - 4 - 3$

  $$\boxed{f(2) = -3}$$

• Pour $x = 3$: $f(3) = (3)^2 - 2(3) - 3$ $f(3) = 9 - 6 - 3$

  $$\boxed{f(3) = 0}$$

3) Déterminer les antécédents possibles de $-3$ par $f$.
Pour trouver les antécédents de $-3$, nous devons résoudre l'équation $f(x) = -3$.

$$x^2 - 2x - 3 = -3$$

Ajoutons 3 aux deux côtés de l'équation :

$$x^2 - 2x = 0$$

Factorisons $x$ :

$$x(x - 2) = 0$$

Cela nous donne deux solutions possibles :
$x = 0$ ou $x - 2 = 0$
$x = 0$ ou $x = 2$
Les antécédents de $-3$ par $f$ sont :

$$\boxed{0 \text{ et } 2}$$