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Prove that A + AB = A + B

August 5, 2026Mathematics

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Pour prouver l'identité booléenne $A + \overline{A}B = A + B$ , nous allons partir du membre de gauche et le simplifier en utilisant les lois de l'algèbre de Boole.

On commence avec le membre de gauche de l'équation.
$A + \overline{A}B$
On applique la loi de distributivité, qui stipule que $X + YZ = (X+Y)(X+Z)$ .
Ici, $X=A$ , $Y=\overline{A}$ et $Z=B$ .
$A + \overline{A}B = (A + \overline{A})(A + B)$
On utilise la loi du complément, qui dit que $A + \overline{A} = 1$ .
$(A + \overline{A})(A + B) = 1 \cdot (A + B)$
On applique la loi d'identité, qui stipule que $1 \cdot X = X$ .
$1 \cdot (A + B) = A + B$
Conclusion : Nous avons montré que le membre de gauche est égal au membre de droite.
$A + \overline{A}B = A + B$
L'identité est donc prouvée.

$\boxed{\text{L'identité } A + \overline{A}B = A + B \text{ est prouvée.}}$

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On commence avec le membre de gauche de l'équation.

On applique la loi de distributivité, qui stipule que X+YZ=(X+Y)(X+Z)X + YZ = (X+Y)(X+Z)X+YZ=(X+Y)(X+Z).

On utilise la loi du complément, qui dit que A+A‾=1A + \overline{A} = 1A+A=1.

On applique la loi d'identité, qui stipule que 1⋅X=X1 \cdot X = X1⋅X=X.

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