Prove that (sin(90-θ) cos(90-θ) + tan(90-θ)) / (cos(90-θ) sin(90-θ) + cot(90-θ)) = cosec θ

हामीलाई थाहा छ:

• $\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$
• $\cot(90^\circ - \theta) = \tan\theta$
• $\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta$

$$\text{LHS} = \frac{\sin(90^\circ - \theta) \cdot \cot(90^\circ - \theta)}{\cot(90^\circ - \theta) + \tan(90^\circ - \theta)}$$

यी सर्वसमिका प्रयोग गर्दा:

$$\text{LHS} = \frac{\cos\theta \cdot \tan\theta}{\tan\theta + \cot\theta}$$

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

अभिव्यक्तिमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:

$$\text{LHS} = \frac{\cos\theta \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}{\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}}$$

$$\text{Denominator} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$

साझा हर (common denominator) $\sin\theta \cos\theta$ लिएर:

$$\text{Denominator} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta \cos\theta}$$

पाइथागोरसको सर्वसमिका (Pythagorean identity) $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ प्रयोग गर्दा:

$$\text{Denominator} = \frac{1}{\sin\theta \cos\theta}$$

$$\text{LHS} = \sin\theta \cdot (\sin\theta \cos\theta)$$ $$\text{LHS} = \sin^2\theta \cos\theta$$

हामीले LHS लाई $\sin^2\theta \cos\theta$ मा सरलीकरण गर्यौं।
दिइएको दायाँ पक्ष (RHS) $\cos^2\theta$ हो।
सामान्यतया, $\sin^2\theta \cos\theta$ सबै $\theta$ मानहरूको लागि $\cos^2\theta$ बराबर हुँदैन (यसको लागि $\sin^2\theta = \cos\theta$ हुनुपर्छ, जुन एक सामान्य सर्वसमिका होइन)।
तसर्थ, दिइएको समीकरण एक सामान्य सर्वसमिका होइन।

सरलीकृत बायाँ पक्ष हो:

$$\boxed{\sin^2\theta \cos\theta}$$

यो दिएको दायाँ पक्ष $\cos^2\theta$ सँग मेल खाँदैन।