Show that sin 3A - sin A / cos 3A + cos A = tan 2A. (ii) Given that f(θ) = sin θ - √3cos θ, express f(θ) in the form R sin(θ - λ), where R is a positive constant and λ is an acute angle. Hence, find the general solution of the equation sin θ - √3cos θ = √2.

Nous utilisons les identités trigonométriques suivantes :
$\sin P + \sin Q = 2 \sin\left(\frac{P+Q}{2}\right) \cos\left(\frac{P-Q}{2}\right)$
$\cos P + \cos Q = 2 \cos\left(\frac{P+Q}{2}\right) \cos\left(\frac{P-Q}{2}\right)$

Pour le numérateur (en supposant la coquille corrigée) :

Pour le dénominateur :

En simplifiant par $2 \cos(A)$ (en supposant $\cos(A) \ne 0$) :

Ainsi, sous l'hypothèse que le numérateur est $\sin 3A + \sin A$, l'égalité est démontrée.

3. (ii) Pour exprimer $f(\theta) = \sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta$ sous la forme $R \sin(\theta - \lambda)$ et trouver la solution générale de l'équation.

Nous savons que $R \sin(\theta - \lambda) = R(\sin \theta \cos \lambda - \cos \theta \sin \lambda) = (R \cos \lambda) \sin \theta - (R \sin \lambda) \cos \theta$.
En comparant avec $f(\theta) = \sin \theta - \sqrt{3}\cos \theta$, nous avons :

Pour trouver $R$, nous élevons au carré et additionnons les équations (1) et (2) :

Pour trouver $\lambda$, nous divisons l'équation (2) par l'équation (1) :

Puisque $R \cos \lambda = 1 > 0$ et $R \sin \lambda = \sqrt{3} > 0$, $\lambda$ est dans le premier quadrant.

Donc, $f(\theta) = 2 \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)$.

En utilisant la forme transformée de $f(\theta)$ :

Soit $\phi = \theta - \frac{\pi}{3}$. Nous avons $\sin \phi = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
La valeur principale de $\phi$ est $\frac{\pi}{4}$.
Les solutions générales pour $\sin \phi = \sin \alpha$ sont $\phi = \alpha + 2n\pi$ ou $\phi = \pi - \alpha + 2n\pi$, où $n \in \mathbb{Z}$.

Cas 1:

Cas 2:

La forme de $f(\theta)$ est $\boxed{2 \sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right)}$.
La solution générale de l'équation est $\boxed{\theta = \frac{7\pi}{12} + 2n\pi \text{ ou } \theta = \frac{13\pi}{12} + 2n\pi, \text{ où } n \in \mathbb{Z}}$.