Show that sin 3A - sin A / cos 3A + cos A = tan 2A. (ii) Given that f(θ) = sin θ - √3cos θ, express f(θ) in the form R sin(θ - λ), where R is a positive constant and λ is an acute angle. Hence, find the general solution of the equation sin θ - √3cos θ = √2.
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Show that sin 3A - sin A / cos 3A + cos A = tan 2A. (ii) Given that f(θ) = sin θ - √3cos θ, express f(θ) in the form R sin(θ - λ), where R is a positive constant and λ is an acute angle. Hence, find the general solution of the equation sin θ - √3cos θ = √2.
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2sin(θ−3π)
3. (i) Pour démontrer l'égalité, nous allons utiliser les formules de somme-produit. Il semble y avoir une coquille dans la question, car avec le signe moins au numérateur, l'expression se simplifie en tanA. Pour obtenir tan2A, le numérateur devrait être sin3A+sinA. Nous allons procéder avec cette hypothèse.
Step 1: Appliquer les formules de somme-produit.
Nous utilisons les identités trigonométriques suivantes :
sinP+sinQ=2sin(2P+Q)cos(2P−Q)cosP+cosQ=2cos(2P+Q)cos(2P−Q)
Step 2: Substituer P=3A et Q=A dans les formules.
Pour le numérateur (en supposant la coquille corrigée) :
sin3A+sinA=2sin(23A+A)cos(23A−A)=2sin(2A)cos(A)
Pour le dénominateur :
cos3A+cosA=2cos(23A+A)cos(23A−A)=2cos(2A)cos(A)
Step 3: Simplifier l'expression.
cos3A+cosAsin3A+sinA=2cos(2A)cos(A)2sin(2A)cos(A)
En simplifiant par 2cos(A) (en supposant cos(A)=0) :
=cos(2A)sin(2A)=tan(2A)
Ainsi, sous l'hypothèse que le numérateur est sin3A+sinA, l'égalité est démontrée.
3. (ii) Pour exprimer f(θ)=sinθ−3cosθ sous la forme Rsin(θ−λ) et trouver la solution générale de l'équation.
Step 1: Exprimer f(θ) sous la forme Rsin(θ−λ).
Nous savons que Rsin(θ−λ)=R(sinθcosλ−cosθsinλ)=(Rcosλ)sinθ−(Rsinλ)cosθ.
En comparant avec f(θ)=sinθ−3cosθ, nous avons :
Rcosλ=1(1)Rsinλ=3(2)
Pour trouver R, nous élevons au carré et additionnons les équations (1) et (2) :
(Rcosλ)2+(Rsinλ)2=12+(3)2R2(cos2λ+sin2λ)=1+3R2(1)=4R=4=2(puisqueRestuneconstantepositive)
Pour trouver λ, nous divisons l'équation (2) par l'équation (1) :
RcosλRsinλ=13tanλ=3
Puisque Rcosλ=1>0 et Rsinλ=3>0, λ est dans le premier quadrant.
λ=arctan(3)=3π
Donc, f(θ)=2sin(θ−3π).
Step 2: Trouver la solution générale de l'équation sinθ−3cosθ=2.
En utilisant la forme transformée de f(θ) :
2sin(θ−3π)=2sin(θ−3π)=22
Soit ϕ=θ−3π. Nous avons sinϕ=22.
La valeur principale de ϕ est 4π.
Les solutions générales pour sinϕ=sinα sont ϕ=α+2nπ ou ϕ=π−α+2nπ, où n∈Z.
Cas 1:
θ−3π=4π+2nπθ=4π+3π+2nπθ=123π+4π+2nπθ=127π+2nπ
Cas 2:
θ−3π=π−4π+2nπθ−3π=43π+2nπθ=43π+3π+2nπθ=129π+4π+2nπθ=1213π+2nπ
La forme de f(θ) est 2sin(θ−3π).
La solution générale de l'équation est θ=127π+2nπouθ=1213π+2nπ,ouˋn∈Z.
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3. (i) Pour démontrer l'égalité, nous allons utiliser les formules de somme-produit.
Show that sin 3A - sin A / cos 3A + cos A = tan 2A. (ii) Given that f(θ) = sin θ - √3cos θ, express f(θ) in the form R sin(θ - λ), where R is a positive constant and λ is an acute angle. Hence, find the general solution of the equation sin θ - √3cos θ = √2.
This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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3. (i) Pour démontrer l'égalité, nous allons utiliser les formules de somme-produit. Il semble y avoir une coquille dans la question, car avec le signe moins au numérateur, l'expression se simplifie en A. Pour obtenir 2A, le numérateur devrait être 3A + A. Nous allons procéder avec cette hypothèse. Step 1: Appliquer les formules de somme-produit. Nous utilisons les identités trigonométriques suivantes : P + Q = 2 ((P+Q)/(2)) ((P-Q)/(2)) P + Q = 2 ((P+Q)/(2)) ((P-Q)/(2)) Step 2: Substituer P=3A et Q=A dans les formules. Pour le numérateur (en supposant la coquille corrigée) : 3A + A = 2 ((3A+A)/(2)) ((3A-A)/(2)) = 2 (2A) (A) Pour le dénominateur : 3A + A = 2 ((3A+A)/(2)) ((3A-A)/(2)) = 2 (2A) (A) Step 3: Simplifier l'expression. ( 3A + A)/( 3A + A) = (2 (2A) (A))/(2 (2A) (A)) En simplifiant par 2 (A) (en supposant (A) 0) : = ((2A))/((2A)) = (2A) Ainsi, sous l'hypothèse que le numérateur est 3A + A, l'égalité est démontrée. 3. (ii) Pour exprimer f() = - sqrt(3) sous la forme R ( - ) et trouver la solution générale de l'équation. Step 1: Exprimer f() sous la forme R ( - ). Nous savons que R ( - ) = R( - ) = (R ) - (R ) . En comparant avec f() = - sqrt(3) , nous avons : R = 1 (1) R = sqrt(3) (2) Pour trouver R, nous élevons au carré et additionnons les équations (1) et (2) : (R )^2 + (R )^2 = 1^2 + (sqrt(3))^2 R^2 (^2 + ^2 ) = 1 + 3 R^2 (1) = 4 R = sqrt(4) = 2 (puisque R est une constante positive) Pour trouver , nous divisons l'équation (2) par l'équation (1) : (R )/(R ) = sqrt(3)1 = sqrt(3) Puisque R = 1 > 0 et R = sqrt(3) > 0, est dans le premier quadrant. = (sqrt(3)) = ()/(3) Donc, f() = 2 ( - ()/(3)). Step 2: Trouver la solution générale de l'équation - sqrt(3) = sqrt(2). En utilisant la forme transformée de f() : 2 ( - ()/(3)) = sqrt(2) ( - ()/(3)) = sqrt(2)2 Soit = - ()/(3). Nous avons = sqrt(2)2. La valeur principale de est ()/(4). Les solutions générales pour = sont = + 2n ou = - + 2n, où n Z. Cas 1: ()/(3) = ()/(4) + 2n = ()/(4) + ()/(3) + 2n = (3 + 4)/(12) + 2n = (7)/(12) + 2n Cas 2: ()/(3) = - ()/(4) + 2n ()/(3) = (3)/(4) + 2n = (3)/(4) + ()/(3) + 2n = (9 + 4)/(12) + 2n = (13)/(12) + 2n La forme de f() est 2 ( - ()/(3)). La solution générale de l'équation est = (7)/(12) + 2n ou = (13)/(12) + 2n, où n Z. Envoie-moi la prochaine 📸
