Construct two rays diverging from a common point to form a 45° angle using a compass and ruler. Verify its accuracy using a protractor.

1. $45^\circ$ कोण का निर्माण और सत्यापन:

• Step 1: $90^\circ$ कोण का निर्माण

  • एक किरण OA खींचिए। O को केंद्र मानकर और किसी भी त्रिज्या का उपयोग करके, एक चाप खींचिए जो OA को B पर काटता है।
  • B को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या का उपयोग करके, पहले चाप पर एक चाप खींचिए जो उसे C पर काटता है।
  • C को केंद्र मानकर और उसी त्रिज्या का उपयोग करके, पहले चाप पर एक और चाप खींचिए जो उसे D पर काटता है।
  • C और D को केंद्र मानकर, समान त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक दूसरे को E पर काटते हैं। OE को जोड़िए। $\angle AOE = 90^\circ$ है।

• Step 2: $45^\circ$ कोण का निर्माण

  • B और F (जहाँ OE पहले चाप को काटता है) को केंद्र मानकर, समान त्रिज्या के दो चाप खींचिए जो एक दूसरे को G पर काटते हैं। OG को जोड़िए। $\angle AOG = 45^\circ$ है।

• Step 3: सत्यापन

  • एक चांदा (protractor) का उपयोग करके, $\angle AOG$ को मापिए। यह $45^\circ$ होना चाहिए।

2. रेखाखंड AB की लंबाई मापना और मिलीमीटर में व्यक्त करना:

• Step 1: रेखाखंड को मापें

  • एक रूलर (पैमाना) का उपयोग करके, रेखाखंड AB की लंबाई को सेंटीमीटर में मापिए। रूलर के शून्य निशान को बिंदु A पर रखिए और बिंदु B पर रूलर पर रीडिंग नोट कीजिए।
  • उदाहरण के लिए, मान लीजिए लंबाई 6.3 सेमी है।

• Step 2: मिलीमीटर में व्यक्त करें

  • हम जानते हैं कि 1 सेमी $= 10$ मिमी।
  • इसलिए, 6.3 सेमी $= 6.3 \times 10$ मिमी $= 63$ मिमी।
  • उत्तर: यदि AB की लंबाई 6.3 सेमी है, तो यह $\boxed{\text{63 मिमी}}$ है।

3. समानांतर रेखाओं की संख्या:

• (i) एक दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु से होकर कितनी समानांतर रेखाएँ गुजर सकती हैं?

  • यूक्लिडियन ज्यामिति के समानांतर अभिधारणा के अनुसार, एक दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु से होकर केवल एक और केवल एक ही समानांतर रेखा खींची जा सकती है।
  • उत्तर: $\boxed{\text{एक}}$

• (ii) एक तल पर दो बिंदुओं से होकर कितनी समानांतर रेखाएँ गुजर सकती हैं?

  • एक तल पर दो अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय रेखा को परिभाषित करते हैं। यदि यह रेखा किसी अन्य रेखा के समानांतर है, तो केवल एक ही ऐसी समानांतर रेखा होगी जो इन दोनों बिंदुओं से होकर गुजरेगी।
  • उत्तर: $\boxed{\text{एक}}$

4. $\angle PQR = 135^\circ$ का आरेखण और क्षेत्रों का संकेत:

• Step 1: कोण का निर्माण

  • एक किरण QP खींचिए।
  • Q को केंद्र मानकर, एक चांदा (protractor) रखिए ताकि उसका केंद्र Q पर हो और आधार रेखा QP के साथ संरेखित हो।
  • चांदे पर $135^\circ$ के निशान को चिह्नित कीजिए और Q से उस बिंदु तक एक किरण QR खींचिए। यह $\angle PQR = 135^\circ$ है।

• Step 2: आंतरिक और बाहरी क्षेत्र

  • आंतरिक क्षेत्र: कोण के अंदर का क्षेत्र, जो किरणों QP और QR के बीच स्थित होता है, कोण का आंतरिक क्षेत्र कहलाता है।
  • बाहरी क्षेत्र: कोण के बाहर का क्षेत्र, जो किरणों QP और QR के बीच नहीं होता है, कोण का बाहरी क्षेत्र कहलाता है।

5. डिवाइडर का उपयोग करके रेखाखंडों की लंबाई की तुलना:

• डिवाइडर का उपयोग: डिवाइडर के एक सिरे को पहले रेखाखंड के एक छोर पर रखिए और दूसरे सिरे को दूसरे छोर पर फैलाइए। डिवाइडर को बिना उसकी चौड़ाई बदले, दूसरे रेखाखंड पर रखिए। यदि डिवाइडर के सिरे दूसरे रेखाखंड के सिरों के साथ पूरी तरह से संरेखित होते हैं, तो दोनों रेखाखंड बराबर हैं। यदि नहीं, तो आप देख सकते हैं कि कौन सा लंबा है।

• (i) PQ = 7 सेमी और RS = 4 सेमी

  • चूंकि 7 सेमी $> 4$ सेमी है, रेखाखंड PQ रेखाखंड RS से लंबा है।
  • तुलना: $\boxed{\text{PQ > RS}}$

• (ii) KL = 5 सेमी और MN = 5 सेमी

  • चूंकि 5 सेमी $= 5$ सेमी है, रेखाखंड KL रेखाखंड MN के बराबर है।
  • तुलना: $\boxed{\text{KL = MN}}$

6. चांदे का उपयोग करके दिए गए कोणों को मापना और तुलना करना:

• चांदे का उपयोग: एक चांदे का उपयोग करके, कोण के शीर्ष पर चांदे का केंद्र रखिए और कोण की एक भुजा को चांदे की आधार रेखा के साथ संरेखित कीजिए। दूसरी भुजा जिस निशान पर पड़ती है, वह कोण का माप होता है।

• (i) $\angle PQR = 45^\circ$ और $\angle XYZ = 60^\circ$

  • चूंकि $45^\circ < 60^\circ$ है, $\angle PQR$ $\angle XYZ$ से छोटा है।
  • तुलना: $\boxed{\angle PQR < \angle XYZ}$

• (ii) $\angle ABC = 90^\circ$ और $\angle DEF = 120^\circ$

  • चूंकि $90^\circ < 120^\circ$ है, $\angle ABC$ $\angle DEF$ से छोटा है।
  • तुलना: $\boxed{\angle ABC < \angle DEF}$