What are the correct answers to the following true/false and multiple-choice math exercises?

EXERCICE 1 (03 points)

1. Pour $a < b$:

   • $a-b < 0$. La bonne affirmation est B.

2. Le centre de l'intervalle $]a;b[$ est $\frac{a+b}{2}$. La bonne affirmation est B.

3. Pour $x$ strictement positif, $\sqrt{x^2} = x$. La bonne affirmation est B.

4. Les solutions de l'équation $(ax+b)(cx+d)=0$ sont $x = -\frac{b}{a}$ et $x = -\frac{d}{c}$. La bonne affirmation est B.

EXERCICE 2 (04 points)

1. La tangente d'un angle aigu est égale au quotient de son sinus par son cosinus ($\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$). La proposition est Faux.

2. Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Le triangle ABC est rectangle en A, donc BC est l'hypoténuse.

   $$AM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 5 \text{ cm} = 2,5 \text{ cm}$$

   La proposition est Faux.

3. La mesure d'un angle inscrit est la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

   $$\angle AEB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ$$

   La proposition est Faux.

4. D'après la figure, le vecteur $\vec{IG}$ est trois fois le vecteur $\vec{IF}$ en direction et en magnitude. La proposition est Vrai.

EXERCICE 3 (03 points)

1. Justifions l'ensemble des solutions de l'inéquation $2(1-x)+3 \ge x+3$:

   $$2(1-x)+3 \ge x+3$$ $$2 - 2x + 3 \ge x + 3$$ $$5 - 2x \ge x + 3$$ $$5 - 3 \ge x + 2x$$ $$2 \ge 3x$$ $$x \le \frac{2}{3}$$

   L'ensemble des solutions est $S_1 = \left]-\infty; \frac{2}{3}\right]$. La justification est correcte.

2. Déduisons l'ensemble des solutions du système (S): Le système (S) est donné par:

   $$\begin{cases} 2(1-x)+3 \ge x+3 \\ x-1 \le 3x-7 \end{cases}$$

   L'ensemble des solutions de la première inéquation est $S_1 = \left]-\infty; \frac{2}{3}\right]$. L'ensemble des solutions de la deuxième inéquation est $S_2 = [3; +\infty[$. L'ensemble des solutions du système (S) est l'intersection de $S_1$ et $S_2$:

   $$S = S_1 \cap S_2 = \left]-\infty; \frac{2}{3}\right] \cap [3; +\infty[$$

   Puisque $\frac{2}{3} < 3$, les deux intervalles n'ont aucun élément en commun. L'ensemble des solutions du système (S) est donc l'ensemble vide.

   $$S = \boxed{\emptyset}$$