The curve, passing through the origin and satisfying the differential equation (xe^-y + 2x)dx + (xe^-y − 1)dy = 0, is

$$dy = -(xe^{-y} + 2x)dx$$ $$dy = -x(e^{-y} + 2)dx$$ $$\frac{dy}{e^{-y} + 2} = -x dx$$

$$\int \frac{dy}{e^{-y} + 2} = \int -x dx$$

बाएं पक्ष के समाकलन के लिए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$\int \frac{dy}{\frac{1}{e^y} + 2} = \int \frac{dy}{\frac{1 + 2e^y}{e^y}} = \int \frac{e^y}{1 + 2e^y} dy$$

अब, $u = 1 + 2e^y$ मान लें। तो $du = 2e^y dy$, जिसका अर्थ है $e^y dy = \frac{1}{2} du$।
बाएं पक्ष का समाकलन हो जाता है:

$$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(1 + 2e^y) + C_1$$

दाएं पक्ष का समाकलन है:

$$\int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C_2$$

$$\frac{1}{2} \ln(1 + 2e^y) = -\frac{x^2}{2} + C$$

चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है, हम $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$$\frac{1}{2} \ln(1 + 2e^0) = -\frac{0^2}{2} + C$$ $$\frac{1}{2} \ln(1 + 2 \cdot 1) = 0 + C$$ $$\frac{1}{2} \ln(3) = C$$

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें:

$$\ln(1 + 2e^y) = -x^2 + \ln(3)$$ $$\ln(1 + 2e^y) - \ln(3) = -x^2$$

लघुगणक के गुणधर्मों का उपयोग करें ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$):

$$\ln\left(\frac{1 + 2e^y}{3}\right) = -x^2$$

लघुगणक को घातांक रूप में बदलें:

$$\frac{1 + 2e^y}{3} = e^{-x^2}$$ $$1 + 2e^y = 3e^{-x^2}$$ $$2e^y = 3e^{-x^2} - 1$$ $$e^y = \frac{3}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}$$

दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लें:

$$y = \ln\left(\frac{3}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}\right)$$

यह विकल्प (4) से मेल खाता है, जहाँ $\log$ का अर्थ प्राकृतिक लघुगणक $\ln$ है।

The final answer is $\text{4}$.