The curve, passing through the origin and satisfying the differential equation (xe^-y + 2x)dx + (xe^-y - 1)dy = 0, is

यह एक अवकल समीकरण (differential equation) को हल करने का प्रश्न है। हमें वह वक्र (curve) ज्ञात करना है जो मूल बिंदु (origin) $(0,0)$ से होकर गुजरता है और दिए गए अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है।

दिया गया अवकल समीकरण है: $(xe^{-y} + 2x)dx + dy = 0$

Step 1: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि चरों को अलग किया जा सके। $dy = -(xe^{-y} + 2x)dx$ $dy = -x(e^{-y} + 2)dx$ $\frac{dy}{e^{-y} + 2} = -x dx$

Step 2: समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन (integration) करें। $\int \frac{dy}{e^{-y} + 2} = \int -x dx$ बाएं पक्ष के समाकलन के लिए, हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int \frac{dy}{\frac{1}{e^y} + 2} = \int \frac{dy}{\frac{1 + 2e^y}{e^y}} = \int \frac{e^y}{1 + 2e^y} dy$ अब, $u = 1 + 2e^y$ मान लें। तो $du = 2e^y dy$, जिसका अर्थ है $e^y dy = \frac{1}{2} du$। बाएं पक्ष का समाकलन हो जाता है: $\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln(1 + 2e^y) + C_1$ दाएं पक्ष का समाकलन है: $\int -x dx = -\frac{x^2}{2} + C_2$

Step 3: दोनों समाकलनों को मिलाएं और समाकलन स्थिरांक (constant of integration) $C$ ज्ञात करें। $\frac{1}{2} \ln(1 + 2e^y) = -\frac{x^2}{2} + C$ चूंकि वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है, हम $x=0$ और $y=0$ प्रतिस्थापित करते हैं: $\frac{1}{2} \ln(1 + 2e^0) = -\frac{0^2}{2} + C$ $\frac{1}{2} \ln(1 + 2 \cdot 1) = 0 + C$ $\frac{1}{2} \ln(3) = C$

Step 4: $C$ का मान वापस सामान्य हल में प्रतिस्थापित करें। $\frac{1}{2} \ln(1 + 2e^y) = -\frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \ln(3)$

Step 5: समीकरण को दिए गए विकल्पों से मिलाने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें। दोनों पक्षों को 2 से गुणा करें: $\ln(1 + 2e^y) = -x^2 + \ln(3)$ $\ln(1 + 2e^y) - \ln(3) = -x^2$ लघुगणक के गुणधर्मों का उपयोग करें ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$): $\ln\left(\frac{1 + 2e^y}{3}\right) = -x^2$ लघुगणक को घातांक रूप में बदलें: $\frac{1 + 2e^y}{3} = e^{-x^2}$ $1 + 2e^y = 3e^{-x^2}$ $2e^y = 3e^{-x^2} - 1$ $e^y = \frac{3}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}$ दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लें: $y = \ln\left(\frac{3}{2}e^{-x^2} - \frac{1}{2}\right)$ यह विकल्प (4) से मेल खाता है, जहाँ $\log$ का अर्थ प्राकृतिक लघुगणक $\ln$ है।

The final answer is $\boxed{4}$. That's 2 down. 3 left today — send the next one.