The function f: R → R is defined by f(x) = 2x − 3. Given that fg(x) = 2x − 5, then the function f(x) is

Une asymptote verticale existe là où le dénominateur de la fonction rationnelle est égal à zéro et le numérateur n'est pas égal à zéro.

Pour $x = -3$, le numérateur est $(-3+1)(-3+2) = (-2)(-1) = 2$.
Puisque le numérateur n'est pas zéro, $x = -3$ est bien une asymptote verticale.
Il n'y a pas d'autre valeur de $x$ qui annule le dénominateur.
Parmi les options, seule l'option C contient $x=-3$. Bien que $x=0$ ne soit pas une asymptote verticale, nous choisissons l'option qui inclut la bonne réponse.
La réponse est $\boxed{\text{C. } x=0, x=-3}$.

Puisque les deux côtés sont non négatifs, on peut élever au carré sans changer le sens de l'inégalité.

Soustraire $x^2$ des deux côtés :

Ajouter $6x$ aux deux côtés :

Soustraire 4 des deux côtés :

La réponse est $\boxed{\text{B. } x < \frac{5}{2}}$.

Question 27 : Les équations des cercles $C_1$ et $C_2$ sont $x^2+y^2=4$ et $x^2+y^2-2x=0$, respectivement. Étant donné que les deux cercles se touchent intérieurement, quelle est l'équation de la tangente commune au point de contact ?

Pour $C_1: x^2+y^2=4$, le centre est $O_1=(0,0)$ et le rayon est $r_1=\sqrt{4}=2$.
Pour $C_2: x^2+y^2-2x=0$, on complète le carré pour $x$: $(x^2-2x+1)+y^2=1 \implies (x-1)^2+y^2=1$. Le centre est $O_2=(1,0)$ et le rayon est $r_2=\sqrt{1}=1$.

La distance entre les centres est $d = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2} = 1$.
La condition pour que les cercles se touchent intérieurement est $d = |r_1 - r_2|$.
$|r_1 - r_2| = |2 - 1| = 1$.
Puisque $d = |r_1 - r_2|$, les cercles se touchent intérieurement.

L'équation de la tangente commune à deux cercles $S_1=0$ et $S_2=0$ est donnée par $S_1 - S_2 = 0$.
$S_1: x^2+y^2-4=0$
$S_2: x^2+y^2-2x=0$

La réponse est $\boxed{\text{B. } x=2}$.

Une relation est une relation d'équivalence si elle possède trois propriétés :

• Réflexivité : Tout élément est en relation avec lui-même ($a \Re a$).
• Symétrie : Si $a$ est en relation avec $b$, alors $b$ est en relation avec $a$ (si $a \Re b$, alors $b \Re a$).
• Transitivité : Si $a$ est en relation avec $b$ et $b$ est en relation avec $c$, alors $a$ est en relation avec $c$ (si $a \Re b$ et $b \Re c$, alors $a \Re c$).

L'option D correspond exactement à ces trois propriétés.
La réponse est $\boxed{\text{D. Reflexive, Transitive, Symmetric}}$.

Pour une équation quadratique $ax^2+bx+c=0$, la somme des racines est $\alpha+\beta = -\frac{b}{a}$ et le produit des racines est $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
Ici, $a=2$, $b=k$, $c=5$.
Donc, $\alpha+\beta = -\frac{k}{2}$ et $\alpha\beta = \frac{5}{2}$.

On sait que $(\alpha+\beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$.
Donc, $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$.

La réponse est $\boxed{\text{C. } \frac{k^2-20}{4}}$.

On a $f(x) = 2x-3$. Pour trouver $f(g(x))$, on remplace $x$ par $g(x)$ dans l'expression de $f(x)$.

On nous donne $f(g(x)) = 2x-5$.

Ajouter 3 aux deux côtés :

Diviser par 2 :

La réponse est $\boxed{\text{A. } x-1}$.