The table below shows the mark scored by students in a maths exam. Draw a cumulative frequency curve and use your graph to find: (i) The median (ii) The quartile deviation (iii) The number of students who scored above 67.

Kwanza, tunahitaji mipaka ya juu ya darasa (upper class boundaries) na masafa jumla (cumulative frequency).

Jumla ya wanafunzi ($N$) ni 80.

• Kwenye x-axis, chora alama (marks) kwa kutumia mipaka ya juu ya darasa (upper class boundaries).
• Kwenye y-axis, chora masafa jumla (cumulative frequency).
• Panga pointi zifuatazo: $(29.5, 0), (39.5, 3), (49.5, 20), (59.5, 47), (69.5, 70), (79.5, 78), (89.5, 80)$.
• Unganisha pointi hizi kwa kutumia mstari laini (smooth curve).

(Kumbuka: Kwa kuwa siwezi kuchora grafu moja kwa moja hapa, maelezo hapo juu yanaeleza jinsi mchoro unavyopaswa kuonekana. Majibu yafuatayo yanatokana na usomaji wa kawaida wa grafu kama hiyo.)

Nafasi ya median ni $\frac{N}{2} = \frac{80}{2} = 40$.

Kutoka kwenye y-axis, tafuta 40. Chora mstari mlalo kuelekea curve, kisha chora mstari wima kushuka kwenye x-axis.
Thamani ya x-axis itakuwa median.
Kutokana na grafu iliyochorwa vizuri, median inapaswa kuwa karibu na $\boxed{56.9 \text{ marks}}$.

Nafasi ya Quartile ya Kwanza ($Q_1$) ni $\frac{N}{4} = \frac{80}{4} = 20$.
Nafasi ya Quartile ya Tatu ($Q_3$) ni $\frac{3N}{4} = \frac{3 \times 80}{4} = 60$.

• Kwa $Q_1$: Kutoka kwenye y-axis, tafuta 20. Chora mstari mlalo kuelekea curve, kisha chora mstari wima kushuka kwenye x-axis. $Q_1$ inapaswa kuwa karibu na $49.5 \text{ marks}$.
• Kwa $Q_3$: Kutoka kwenye y-axis, tafuta 60. Chora mstari mlalo kuelekea curve, kisha chora mstari wima kushuka kwenye x-axis. $Q_3$ inapaswa kuwa karibu na $65.2 \text{ marks}$.

Quartile Deviation (QD) $= \frac{Q_3 - Q_1}{2}$

Quartile deviation ni $\boxed{7.85}$.

Kutoka kwenye x-axis, tafuta 67. Chora mstari wima kuelekea curve, kisha chora mstari mlalo kuelekea y-axis.
Masafa jumla kwa alama 67 ($cf_{67}$) inapaswa kuwa karibu na 64 wanafunzi.

Idadi ya wanafunzi waliofunga zaidi ya 67 = Jumla ya wanafunzi - $cf_{67}$

Idadi ya wanafunzi waliofunga zaidi ya 67 ni $\boxed{16 \text{ wanafunzi}}$.