यदि u = log (tan x + tan y) हो, तो sin 2x du/dx + sin 2y du/dy बराबर है -

$u = \log(\tan x + \tan y)$
$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर, $y$ को एक स्थिरांक मानते हुए:

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x + \tan y)$$ $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot (\sec^2 x + 0)$$ $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y}$$

$u = \log(\tan x + \tan y)$
$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन करने पर, $x$ को एक स्थिरांक मानते हुए:

$$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot \frac{d}{dy}(\tan x + \tan y)$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot (0 + \sec^2 y)$$ $$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y}$$

हमें $\sin 2x \frac{\partial u}{\partial x} + \sin 2y \frac{\partial u}{\partial y}$ का मान ज्ञात करना है।

$$\sin 2x \left( \frac{\sec^2 x}{\tan x + \tan y} \right) + \sin 2y \left( \frac{\sec^2 y}{\tan x + \tan y} \right)$$ $$= \frac{1}{\tan x + \tan y} (\sin 2x \sec^2 x + \sin 2y \sec^2 y)$$

अब, $\sin 2x \sec^2 x$ और $\sin 2y \sec^2 y$ को सरल करें।
हम जानते हैं कि $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ और $\sec^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$।

$$\sin 2x \sec^2 x = (2\sin x \cos x) \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x$$

इसी प्रकार,

$$\sin 2y \sec^2 y = (2\sin y \cos y) \cdot \frac{1}{\cos^2 y} = \frac{2\sin y}{\cos y} = 2\tan y$$

इन मानों को व्यंजक में वापस प्रतिस्थापित करने पर:

$$= \frac{1}{\tan x + \tan y} (2\tan x + 2\tan y)$$ $$= \frac{1}{\tan x + \tan y} \cdot 2(\tan x + \tan y)$$ $$= 2$$

अतः, दिए गए व्यंजक का मान 2 है।

सही विकल्प है:

$$\text{(2) } 2$$