Un commerçant A vend un article à 20 € hors taxe. Le taux de TVA est de 20%. Calculer le prix TTC de l'article. [...]

Soit A l'événement « il y a affluence de clients » et B l'événement « Mariam réalise un bénéfice ».
Nous avons :
$P(A) = 0,6$
$P(B|A) = 0,7$ (probabilité de bénéfice sachant affluence)

L'événement E est $A \cap B$. La probabilité d'intersection est donnée par la formule de probabilité conditionnelle :

La probabilité de l'événement E est $\boxed{0,42}$.

b) Démontrer que la probabilité P(B) de l'événement B est égale à 0,58.

Nous avons $P(A) = 0,6$, donc $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$.
Nous avons $P(B|\bar{A}) = 0,4$ (probabilité de bénéfice sachant non-affluence).

L'événement B peut se produire soit avec affluence (A), soit sans affluence ($\bar{A}$).

La probabilité P(B) est bien égale à $\boxed{0,58}$.

c) Mariam a réalisé un bénéfice. Calculer la probabilité qu'il y ait eu une affluence de clients ce jour-là. (On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible).

Il s'agit de la probabilité conditionnelle $P(A|B)$.

Nous avons $P(A \cap B) = 0,42$ (d'après 1a) et $P(B) = 0,58$ (d'après 1b).

La probabilité est $\boxed{\frac{21}{29}}$.

2) Mariam veut faire une prévision sur trois jours successifs donnés. On désigne par X le nombre de fois qu'elle réalise un bénéfice sur les trois jours successifs.

a) Déterminer les valeurs prises par X.
X représente le nombre de jours où Mariam réalise un bénéfice sur 3 jours. X peut donc prendre les valeurs :

b) Déterminer la loi de probabilité de X. (On donnera l'arrondi d'ordre 3 des résultats).

X suit une loi binomiale $B(n, p)$ où $n=3$ (nombre de jours) et $p=P(B)=0,58$ (probabilité de réaliser un bénéfice un jour donné).
La probabilité de ne pas réaliser de bénéfice est $1-p = 1-0,58 = 0,42$.
La formule de probabilité est $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.