Un exercice de maths classe de troisième qui contient tout

Question

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Voici un exercice de mathématiques complet pour la classe de troisième, couvrant plusieurs notions clés :

Exercice Complet de Mathématiques (Classe de Troisième)

Partie A : Calcul Numérique et Littéral

Soit l'expression $A = \sqrt{75} - 2\sqrt{12} + \sqrt{3}$ . Écrire $A$ sous la forme $a\sqrt{3}$ , où $a$ est un entier relatif.
Soit l'expression $E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5)$ . *a) Développer et réduire l'expression $E$ . *b) Factoriser l'expression $E$ . *c) Résoudre l'équation $E = 0$ .

Partie B : Géométrie

On considère un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$ . On donne $\text{AB} = 6$ cm et $\text{AC} = 8$ cm.

Calculer la longueur $\text{BC}$ .
Calculer la mesure de l'angle $\angle \text{ABC}$ . Arrondir le résultat au degré près.
Soit $\text{M}$ un point sur le segment $\text{AB}$ tel que $\text{AM} = 2$ cm. La droite parallèle à $\text{AC}$ passant par $\text{M}$ coupe le segment $\text{BC}$ en $\text{N}$ . Calculer la longueur $\text{MN}$ .

Voici la résolution détaillée de cet exercice :

Partie A : Calcul Numérique et Littéral

1. Simplification de l'expression $A$

Décomposer les nombres sous les racines en facteurs, en cherchant des carrés parfaits.
$A = \sqrt{25 \times 3} - 2\sqrt{4 \times 3} + \sqrt{3}$
Appliquer la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .
$A = \sqrt{25} \times \sqrt{3} - 2 \times \sqrt{4} \times \sqrt{3} + \sqrt{3}$
Calculer les racines carrées des carrés parfaits.
$A = 5\sqrt{3} - 2 \times 2\sqrt{3} + \sqrt{3}$
Effectuer la multiplication et regrouper les termes en $\sqrt{3}$ .
$A = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3}$ $A = (5 - 4 + 1)\sqrt{3}$ $A = 2\sqrt{3}$
L'expression simplifiée est $\boxed{2\sqrt{3}}$ .

2. Étude de l'expression $E$

a) Développer et réduire l'expression $E$
Appliquer l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ pour le premier terme et la double distributivité pour le second.
$E = ( (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 ) - ( 2x \times x + 2x \times 5 - 3 \times x - 3 \times 5 )$ $E = ( 4x^2 - 12x + 9 ) - ( 2x^2 + 10x - 3x - 15 )$
Simplifier le second terme à l'intérieur de la parenthèse.
$E = 4x^2 - 12x + 9 - ( 2x^2 + 7x - 15 )$
Supprimer la parenthèse en changeant les signes des termes à l'intérieur.
$E = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 - 7x + 15$
Regrouper les termes de même degré.
$E = (4x^2 - 2x^2) + (-12x - 7x) + (9 + 15)$ $E = 2x^2 - 19x + 24$
L'expression développée et réduite est $\boxed{2x^2 - 19x + 24}$ .

b) Factoriser l'expression $E$
Identifier le facteur commun dans l'expression $E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5)$ .
Le facteur commun est $(2x - 3)$ .
Mettre le facteur commun en évidence.
$E = (2x - 3) [ (2x - 3) - (x + 5) ]$
Simplifier l'expression à l'intérieur des crochets.
$E = (2x - 3) [ 2x - 3 - x - 5 ]$ $E = (2x - 3) [ (2x - x) + (-3 - 5) ]$ $E = (2x - 3)(x - 8)$
L'expression factorisée est $\boxed{(2x - 3)(x - 8)}$ .

c) Résoudre l'équation $E = 0$
Utiliser la forme factorisée de $E$ pour résoudre l'équation $E = 0$ .
$(2x - 3)(x - 8) = 0$
Appliquer la propriété du produit nul
si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul.
$2x - 3 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 8 = 0$
Résoudre chaque équation linéaire.
Pour la première équation :
$2x = 3$ $x = \frac{3}{2}$
Pour la seconde équation :
$x = 8$
Les solutions de l'équation sont $\boxed{x = \frac{3}{2} \text{ et } x = 8}$ .

Partie B : Géométrie

1. Calcul de la longueur $\text{BC}$
Le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$ .
On peut donc appliquer le théorème de Pythagore.
$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$
Substituer les valeurs données
$\text{AB} = 6$ cm et $\text{AC} = 8$ cm.
$\text{BC}^2 = 6^2 + 8^2$ $\text{BC}^2 = 36 + 64$ $\text{BC}^2 = 100$
Calculer la racine carrée pour trouver $\text{BC}$ .
$\text{BC} = \sqrt{100}$ $\text{BC} = 10 \text{ cm}$
La longueur $\text{BC}$ est de $\boxed{10 \text{ cm}}$ .

2. Calcul de la mesure de l'angle $\angle \text{ABC}$
Dans le triangle rectangle $\text{ABC}$ en $\text{A}$ , on peut utiliser une relation trigonométrique.
Pour l'angle $\angle \text{ABC}$ :
- Le côté opposé est $\text{AC} = 8$ cm.
- Le côté adjacent est $\text{AB} = 6$ cm.
- L'hypoténuse est $\text{BC} = 10$ cm. On peut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente. Utilisons la tangente :
$\tan(\angle \text{ABC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{\text{AC}}{\text{AB}}$
Substituer les valeurs.
$\tan(\angle \text{ABC}) = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Utiliser la fonction arc tangente (ou $\tan^{-1}$ ) pour trouver la mesure de l'angle.
$\angle \text{ABC} = \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$ $\angle \text{ABC} \approx 53,13^\circ$
Arrondir au degré près.
$\angle \text{ABC} \approx 53^\circ$
La mesure de l'angle $\angle \text{ABC}$ est d'environ $\boxed{53^\circ}$ .

3. Calcul de la longueur $\text{MN}$
On a le triangle $\text{ABC}$ .
Le point $\text{M}$ est sur $\text{AB}$ et la droite passant par $\text{M}$ et parallèle à $\text{AC}$ coupe $\text{BC}$ en $\text{N}$ . On est dans une configuration de Thalès.
Les droites $(\text{MN})$ et $(\text{AC})$ sont parallèles. Les points $\text{B}$ , $\text{M}$ , $\text{A}$ sont alignés et les points $\text{B}$ , $\text{N}$ , $\text{C}$ sont alignés.
Appliquer le théorème de Thalès.
$\frac{\text{BM}}{\text{BA}} = \frac{\text{BN}}{\text{BC}} = \frac{\text{MN}}{\text{AC}}$
Calculer la longueur $\text{BM}$ .
On sait que $\text{AB} = 6$ cm et $\text{AM} = 2$ cm.
$\text{BM} = \text{AB} - \text{AM} = 6 - 2 = 4 \text{ cm}$
Utiliser la partie de l'égalité qui nous permet de trouver $\text{MN}$ .
$\frac{\text{BM}}{\text{BA}} = \frac{\text{MN}}{\text{AC}}$
Substituer les valeurs connues
$\text{BM} = 4$ cm, $\text{BA} = 6$ cm, $\text{AC} = 8$ cm.
$\frac{4}{6} = \frac{\text{MN}}{8}$
Résoudre pour $\text{MN}$ par produit en croix.
$6 \times \text{MN} = 4 \times 8$ $6 \times \text{MN} = 32$ $\text{MN} = \frac{32}{6}$ $\text{MN} = \frac{16}{3} \text{ cm}$
La longueur $\text{MN}$ est de $\boxed{\frac{16}{3} \text{ cm}}$ .

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Step-by-step solution

Décomposer les nombres sous les racines en facteurs, en cherchant des carrés parfaits.

Appliquer la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Calculer les racines carrées des carrés parfaits.

Effectuer la multiplication et regrouper les termes en $\sqrt{3}$ .

Appliquer l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ pour le premier terme et la double distributivité pour le second.

Simplifier le second terme à l'intérieur de la parenthèse.

Supprimer la parenthèse en changeant les signes des termes à l'intérieur.

Regrouper les termes de même degré.

Identifier le facteur commun dans l'expression $E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5)$ .

Mettre le facteur commun en évidence.

Simplifier l'expression à l'intérieur des crochets.

Utiliser la forme factorisée de $E$ pour résoudre l'équation $E = 0$ .

Appliquer la propriété du produit nul

Résoudre chaque équation linéaire.

Le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$ .

Substituer les valeurs données

Calculer la racine carrée pour trouver $\text{BC}$ .

Dans le triangle rectangle $\text{ABC}$ en $\text{A}$ , on peut utiliser une relation trigonométrique.

Substituer les valeurs.

Utiliser la fonction arc tangente (ou $\tan^{-1}$ ) pour trouver la mesure de l'angle.

Arrondir au degré près.

On a le triangle $\text{ABC}$ .

Appliquer le théorème de Thalès.

Calculer la longueur $\text{BM}$ .

Utiliser la partie de l'égalité qui nous permet de trouver $\text{MN}$ .

Substituer les valeurs connues

Résoudre pour $\text{MN}$ par produit en croix.

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Un exercice de maths classe de troisième qui contient tout

Step-by-step solution

Décomposer les nombres sous les racines en facteurs, en cherchant des carrés parfaits.

Appliquer la propriété a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}a×b​=a​×b​.

Calculer les racines carrées des carrés parfaits.

Effectuer la multiplication et regrouper les termes en 3\sqrt{3}3​.

Appliquer l'identité remarquable (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a−b)2=a2−2ab+b2 pour le premier terme et la double distributivité pour le second.

Simplifier le second terme à l'intérieur de la parenthèse.

Supprimer la parenthèse en changeant les signes des termes à l'intérieur.

Regrouper les termes de même degré.

Identifier le facteur commun dans l'expression E=(2x−3)2−(2x−3)(x+5)E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5)E=(2x−3)2−(2x−3)(x+5).

Mettre le facteur commun en évidence.

Simplifier l'expression à l'intérieur des crochets.

Utiliser la forme factorisée de EEE pour résoudre l'équation E=0E = 0E=0.

Appliquer la propriété du produit nul

Résoudre chaque équation linéaire.

Le triangle ABC\text{ABC}ABC est rectangle en A\text{A}A.

Substituer les valeurs données

Calculer la racine carrée pour trouver BC\text{BC}BC.

Dans le triangle rectangle ABC\text{ABC}ABC en A\text{A}A, on peut utiliser une relation trigonométrique.

Substituer les valeurs.

Utiliser la fonction arc tangente (ou tan⁡−1\tan^{-1}tan−1) pour trouver la mesure de l'angle.

Arrondir au degré près.

On a le triangle ABC\text{ABC}ABC.

Appliquer le théorème de Thalès.

Calculer la longueur BM\text{BM}BM.

Utiliser la partie de l'égalité qui nous permet de trouver MN\text{MN}MN.

Substituer les valeurs connues

Résoudre pour MN\text{MN}MN par produit en croix.

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Effectuer la multiplication et regrouper les termes en $\sqrt{3}$ .

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Identifier le facteur commun dans l'expression $E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5)$ .

Utiliser la forme factorisée de $E$ pour résoudre l'équation $E = 0$ .

Le triangle $\text{ABC}$ est rectangle en $\text{A}$ .

Calculer la racine carrée pour trouver $\text{BC}$ .

Dans le triangle rectangle $\text{ABC}$ en $\text{A}$ , on peut utiliser une relation trigonométrique.

Utiliser la fonction arc tangente (ou $\tan^{-1}$ ) pour trouver la mesure de l'angle.

On a le triangle $\text{ABC}$ .

Calculer la longueur $\text{BM}$ .

Utiliser la partie de l'égalité qui nous permet de trouver $\text{MN}$ .

Résoudre pour $\text{MN}$ par produit en croix.