This mathematics problem involves applying core mathematical principles and formulas. Below you will find a complete step-by-step solution with detailed explanations for each step, helping you understand not just the answer but the method behind it.
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Voici un exercice de mathématiques complet pour la classe de troisième, couvrant plusieurs notions clés : --- Exercice Complet de Mathématiques (Classe de Troisième) Partie A : Calcul Numérique et Littéral 1. Soit l'expression A = sqrt(75) - 2sqrt(12) + sqrt(3). Écrire A sous la forme asqrt(3), où a est un entier relatif. 2. Soit l'expression E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5). *a) Développer et réduire l'expression E. *b) Factoriser l'expression E. *c) Résoudre l'équation E = 0. Partie B : Géométrie On considère un triangle ABC rectangle en A. On donne AB = 6 cm et AC = 8 cm. 1. Calculer la longueur BC. 2. Calculer la mesure de l'angle ABC. Arrondir le résultat au degré près. 3. Soit M un point sur le segment AB tel que AM = 2 cm. La droite parallèle à AC passant par M coupe le segment BC en N. Calculer la longueur MN. --- Voici la résolution détaillée de cet exercice : Partie A : Calcul Numérique et Littéral 1. Simplification de l'expression A Step 1: Décomposer les nombres sous les racines en facteurs, en cherchant des carrés parfaits. A = sqrt(25 × 3) - 2sqrt(4 × 3) + sqrt(3) Step 2: Appliquer la propriété sqrt(a × b) = sqrt(a) × sqrt(b). A = sqrt(25) × sqrt(3) - 2 × sqrt(4) × sqrt(3) + sqrt(3) Step 3: Calculer les racines carrées des carrés parfaits. A = 5sqrt(3) - 2 × 2sqrt(3) + sqrt(3) Step 4: Effectuer la multiplication et regrouper les termes en sqrt(3). A = 5sqrt(3) - 4sqrt(3) + sqrt(3) A = (5 - 4 + 1)sqrt(3) A = 2sqrt(3) L'expression simplifiée est 2sqrt(3). 2. Étude de l'expression E a) Développer et réduire l'expression E Step 1: Appliquer l'identité remarquable (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 pour le premier terme et la double distributivité pour le second. E = ( (2x)^2 - 2 × 2x × 3 + 3^2 ) - ( 2x × x + 2x × 5 - 3 × x - 3 × 5 ) E = ( 4x^2 - 12x + 9 ) - ( 2x^2 + 10x - 3x - 15 ) Step 2: Simplifier le second terme à l'intérieur de la parenthèse. E = 4x^2 - 12x + 9 - ( 2x^2 + 7x - 15 ) Step 3: Supprimer la parenthèse en changeant les signes des termes à l'intérieur. E = 4x^2 - 12x + 9 - 2x^2 - 7x + 15 Step 4: Regrouper les termes de même degré. E = (4x^2 - 2x^2) + (-12x - 7x) + (9 + 15) E = 2x^2 - 19x + 24 L'expression développée et réduite est 2x^2 - 19x + 24. b) Factoriser l'expression E Step 1: Identifier le facteur commun dans l'expression E = (2x - 3)^2 - (2x - 3)(x + 5). Le facteur commun est (2x - 3). Step 2: Mettre le facteur commun en évidence. E = (2x - 3) [ (2x - 3) - (x + 5) ] Step 3: Simplifier l'expression à l'intérieur des crochets. E = (2x - 3) [ 2x - 3 - x - 5 ] E = (2x - 3) [ (2x - x) + (-3 - 5) ] E = (2x - 3)(x - 8) L'expression factorisée est (2x - 3)(x - 8). c) Résoudre l'équation E = 0 Step 1: Utiliser la forme factorisée de E pour résoudre l'équation E = 0. (2x - 3)(x - 8) = 0 Step 2: Appliquer la propriété du produit nul : si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. 2x - 3 = 0 ou x - 8 = 0 Step 3: Résoudre chaque équation linéaire. Pour la première équation : 2x = 3 x = (3)/(2) Pour la seconde équation : x = 8 Les solutions de l'équation sont x = (3)/(2) et x = 8. Partie B : Géométrie 1. Calcul de la longueur BC Step 1: Le triangle ABC est rectangle en A. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore. BC^2 = AB^2 + AC^2 Step 2: Substituer les valeurs données : AB = 6 cm et AC = 8 cm. BC^2 = 6^2 + 8^2 BC^2 = 36 + 64 BC^2 = 100 Step 3: Calculer la racine carrée pour trouver BC. BC = sqrt(100) BC = 10 cm La longueur BC est de 10 cm. 2. Calcul de la mesure de l'angle ABC Step 1: Dans le triangle rectangle ABC en A, on peut utiliser une relation trigonométrique. Pour l'angle ABC : Le côté opposé est AC = 8 cm. Le côté adjacent est AB = 6 cm. L'hypoténuse est BC = 10 cm. On peut utiliser le cosinus, le sinus ou la tangente. Utilisons la tangente : ( ABC) = côté opposécôté adjacent = ACAB Step 2: Substituer les valeurs. ( ABC) = (8)/(6) = (4)/(3) Step 3: Utiliser la fonction arc tangente (ou ^-1) pour trouver la mesure de l'angle. ABC = ((4)/(3)) ABC ≈ 53,13^ Step 4: Arrondir au degré près. ABC ≈ 53^ La mesure de l'angle ABC est d'environ 53^. 3. Calcul de la longueur MN Step 1: On a le triangle ABC. Le point M est sur AB et la droite passant par M et parallèle à AC coupe BC en N. On est dans une configuration de Thalès. Les droites (MN) et (AC) sont parallèles. Les points B, M, A sont alignés et les points B, N, C sont alignés. Step 2: Appliquer le théorème de Thalès. BMBA = BNBC = MNAC Step 3: Calculer la longueur BM. On sait que AB = 6 cm et AM = 2 cm. BM = AB - AM = 6 - 2 = 4 cm Step 4: Utiliser la partie de l'égalité qui nous permet de trouver MN. BMBA = MNAC Step 5: Substituer les valeurs connues : BM = 4 cm, BA = 6 cm, AC = 8 cm. (4)/(6) = MN8 Step 6: Résoudre pour MN par produit en croix. 6 × MN = 4 × 8 6 × MN = 32 MN = (32)/(6) MN = (16)/(3) cm La longueur MN est de (16)/(3) cm. --- Last free one today — make it count tomorrow, or type /upgrade for unlimited.